❀ Handlinger i representasjonsspråk
Generisk eksempel#
Forutsetninger og læringsmål#
Vi har snakket om at eksempler ikke er gyldig argumentasjon. Nå skal vi se på generiske eksempler; her bruker man eksempler for å få fram noe som er generelt. Selv om man tar utgangspunkt i et eksempel argumenterer man altså generelt.
Referanser#
En introduksjon (og videre referanser) i (Arnesen, 2022) og (Enge & Valenta, 2011).
Ref TODO[1]
Introduksjon#
Selv om eksempelbevis ikke er gyldige bevis, kan eksemplene noen ganger representere noe mer generelt. Da kan dette bli fullgode bevis eller iallfall fungere som fullgode bevis.
Det finnes mange varianter av dette. Det kan også diskuteres hva som er fullgode bevis fra et pedagogisk og matematisk synspunkt. Hovedpoenget er likevel at dette kan fungere svært bra.
Eksemplene vi snakker om finnes i et representasjonsspråk. Eksempler er
Formelspråk
Grafiske språk som tellbar mengde, tall-linje eller flis. Ofte tenker vi også i et språk (f.eks. tellbar mengde / fingre) selv om vi bare skriver et annet (f.eks. sifre).
Det er også svært vanlig at vi gjør en handling som passer med språket.
Eksempler:
På tall-linja får man fram at 0 + a er det samme som a. Handlingen her, knyttet til addisjon, er å “sette sammen”.
Med flisrepresentasjonen får man fram at a×b er det samme som b×a. Handlingen her kan være å “snu” eller “speile”.
Representasjoner#
Vi kan snakke om representasjon av to ting her:
Representasjon av beviset (f.eks. med pil)
Representasjon av hva som skal bevises (f.eks. tall-linje eller flis)
Ord#
“For eksempel…”
Varianter#
Crucial experiment
Algoritmer#
Presentere et generisk eksempel#
(Arnesen, 2022), side 7, sier at man bør presentere et generisk eksempel i to ledd:
Først presenterer man argumentet på eksempelet
Så understreker man at argumentet er uavhengig av selve eksempelet — at det gjelder for alle tilfeller.
Oppgaver / eksempler#
Oppgaver: For hver av de følgende skal du ①formulere en regel, ②finne et egnet representasjonsspråk og ③argumenere for regelen
2 + 3 → 5
Løsningsforslag
Regel: \(\overset{2 + 3}{\underset{5}{↓}}\)
Her er det mange varianter av tellbar mengde-representasjoner (inkludert epler, lego, fingre og annet) som fungerer. Handlingen “legge sammen” viser at to lagt sammen med tre blir fem.
Også tall-linjer er bra. Handlingen “hoppe” viser at om man hopper til to og så tre til kommer man til fem.
2 + 3 - 1 → 4
Løsningsforslag
Regel: \(\overset{2 + 3 − 1}{\underset{4}{↓}}\)
Skal man her bruke en variant av tellbar mengde er vanskeligheten hvordan man skal representere negative tall. Det kan gjøres på mange måter, f.eks. Lego opp-ned eller “kryss over” (som i kryss over et eple). Da kan handlingene være først å legge sammen to og tre og så fjerne en.
Kanskje tall-linje (f.eks. et termometer) er enklere? Da ka handlingene være “gå til to, gå tre til, gå en tilbake” og vi ender på 4.
Den kommutative lov for multiplikasjon
Løsningsforslag
Regel: \(\overset{a × b}{\underset{b × a}{↓}}\)
En flisrepresentasjon viser tydelig at dette stemmer.
Den assosiative lov for addisjon
Løsningsforslag
Regel: \(\overset{(a + b) + c}{\underset{a + (b + c)}{↓}}\)
Her kan man bruke tellbar mende. Vanskeligheten (?) er å representere parentes. Man kan for eksempel se for seg en plastpose rundt legoklossene.
Man kan også bruke tall-linje.
a er oddetall og b er oddetall → a+b er oddetall (her skal du gjøre det både med formel og et grafisk representasjonsspråk)
Løsningsforslag
Regel: Det er ok å si dette med ord: “Om a er oddetall og b er oddetall, er a+b også et oddetall”. Vil man si det med formel, kan man si \(\overset{a ∈ \textrm{oddetall} ∧ b ∈ \textrm{oddetall}}{\underset{a + b ∈ \textrm{oddetall}}{↓}}\)
En representasjon er å tegne rekker av par; f.eks. kan tallet 5 være ::.. Da ser man at ethvert oddetall kan skrives med et antall : og en .; to oddetall vil da ha mange : og to . og de to kan kombineres til :; dermed har man bare mange : og altså et partall. Dette er enkelre å tegne enn å skrive ☺.
Med formel: om a er et oddetall kan det skrives som \(2n + 1\). Om b er et oddetall kan det skrives \(2m + 1\); a + b blir da \(2n + 2m + 2\), som kan skrives \(2(n + m + 1)\). Dette er et partall.
Finne et generisk eksempel#
Løfte elever til handlinger i representasjonsspråk / generiske eksempler#
Aspekt#
Man diskuterer filosofisk om generisk eksempel er gyldig argument eller ikke. Det er likevel liten tvil om at det er viktig i elevers læring av generelle argument og i den historiske utviklingen av generelle argument. Kanskje er det også viktig i strukturen i argumentene.
Læring#
Tilsvarer sannsynligvis viktige måter å generalisere på.
Dette tilsvarer en viktig måte matematisk kunnskap bygges på, både historisk og hos elevene. (Sfard, 1991)