Utfallsrom#
Forutsetninger og læringsmål#
Utfallsrom er et viktig begrep i sannsynlighet.
Introduksjon#
Utfallsrommet er mengden av mulige utfall.
Den grunnleggende formelen i sannsynlighet er
sannsynligheten for A
= \(\frac{\textrm{størrelsen på rommet hvor } A \textrm{ er sann}}{\textrm{størrelsen på utfallsrommet}}\).
Derfor er vi ofte interessert i formen og størrelsen på utfallsrommet.
Har vi et uniformt utfallsrom kan vi si at
sannsynligheten for A
= \(\frac{\textrm{antall utfall hvor } A \textrm{ er sann}}{\textrm{antall utfall totalt}}\).
Eksempel: Mynt og kron#
Utfallsmengden til myntkast er { , }.
Eksempel: Ett terningkast#
For eksempel er utfallsrommet av et terningkast mengden {⚀, ⚁, ⚂, ⚃, ⚄, ⚅}.
Eksempel: To terningkast#
Det er ikke alltid gitt hva som er ulike utfall. Hva om vi kaster to terninger?
Vi kunne tenke at hver mulig sum er et et utfall. Utfallsrommet er da 2,3,4,…,10,11,12. Det er mulig å se det sånn; men vi skal senere se at dette utfallsrommet er ikke uniformt!
Vi kan si at ⚀⚁ og ⚁⚀ er to ulike utfall. Vi sier altså at rekkefølgen betyr noe (ordnet utvalg). Da får vi (som vi senere skal se) et uniformt utfallsrom. Men det er bare ett av utfallene som gir summen 2, nemlig ⚀⚀. Derimot er det 6 av utfallene som gir summen 7: ⚀⚅, ⚁⚄, ⚂⚃, ⚃⚂, ⚄⚁ og ⚅⚀. Vi kan si at hendelsen “summen er 7” inntreffer ved seks ulike utfall. Det er mer praktisk og mye mer vanlig å se det på denne måten.
Representasjoner#
I matematikken betyr rom og mengde det samme. Siden vi snakker om mengder kommer vi fort bort i mengdelære; for eksempel bruker vi representasjoner for mengdelære som f.eks. Venn-diagram.
Liste / tabell#
Vi vil oftest representere utfallsrom horisontalt/vannrett.
Formelspråk#
Utfallsrom kan ofte angis som mengder, f.eks. {⚀, ⚁, ⚂, ⚃, ⚄, ⚅}. Noen ganger er utfallsrommet en tallmengde (f.eks. ℕ) eller en mengde med begrensninger og enhet (f.eks. høyde = ℝ mellom visse verdier × cm)
Venndiagram#
Utfallstre (valgtre) #
Dette er en representasjon av utfallsrommet.
Dette kalles også valgtre.
Algoritmer#
Lage en representasjon for et utfallsrom#
F.eks.
Liste (f.eks. når man har en parameter)
valgtre i kombinatorikk
Venn-diagram
Krysstabell (f.eks. når man har to terningkast)