< Sammenlikne brøker#
Forutsetninger og læringsmål#
Læringsmål#
Du skal kunne avgjøre hvilken av to brøker som er størst, eller om de er like.
Det å sammenlikne to brøker er nyttig i seg selv. Men mye av det vi sier her fungerer også som en oppvarming til addisjon av to brøker. Mye (f.eks. å finne felles nevner) er likt mellom < og +.
Mye av det følgende gjelder også for “brøker” i algebra, når vi har variable i teller eller nevner.
Referanser#
Phet har bl.a. simuleringer, aktiviteter og læringsressurser om brøksammenlikning
Introduksjon#
Representasjoner#
Ord#
Formelspråk#
Å “sammenlikne to brøker” er å se hvem som er størst. Det er altså å si om brøken \(\frac{t_1}{n_1}\) er større enn \(\frac{t_2}{n_2}\), altså om det er sant at \(\frac{t_1}{n_1} > \frac{t_2}{n_2}\).
Småstein og fliser#
Algoritmer#
Brøker med felles nevner#
Skal vi sammenlikne to brøker for å se hvilken som er størst, er det enklest om brøkene har samme nevner. Har vi for eksempel 
og 
er det klart at er størst. Har to brøker samme nevner, er det den som har størst teller som er størst. Dette er også enkelt i formelspråket: \(\frac{6}{17}\) er større enn \(\frac{5}{17}\).
Eksempel#
Har vi for eksempel og er det klart at er størst. Har to brøker samme nevner, er det den som har størst teller som er størst.
Splitte brøker til felles nevner#
Vi kan også splitte brøker så de får felles nevner. Skal vi sammenlikne \(\frac{2}{4}\) og \(\frac{3}{10}\) kan vi bruke felles nevner 20 og splitte begge til denne nevneren; vi får \(\frac{10}{20}\) og \(\frac{6}{20}\) som er enkle å sammenlikne.
Det er flere muligheter for å finne felles nevner. Disse er tatt ut i eget dokument.
Her vil vi bare gjenta at en mulig felles nevner er produktet av de to nevnerne. Uten begrunnelse sier vi at om vi splitter hver brøk med hverandres nevner får vi to brøker med felles nevner. I vårt eksempel får vi \(\frac{2·10}{4·10}\) og \(\frac{3·4}{10·4}\) → \(\frac{20}{40}\) og \(\frac{12}{40}\) som er enkle å sammenlikne. Begrunnelsen finner man ved å sette opp det generelle uttrykket \(\frac{t_1}{n_1} > \frac{t_2}{n_2}\) → \(\frac{t_1·n_2}{n_1·n_2} > \frac{t_2·n_1}{n_2·n_1}\) som jo har felles nevner.
Eksempel?#
Vi skal nå splitte både \(\frac{2}{3}\) og \(\frac{1}{5}\) til \(\frac{?}{15}\). Vi kan bruke inni-algoritmen “splitte til kjent nevner”.
En snarvei er å splitte hver brøk med nevneren til den andre brøken. Da får hver av de nye brøkene nevner som er lik produktet av sin egen gamle nevner og den andre nevneren.
For eksempel får vi \(\frac{2×5}{3×5} → \frac{10}{15}\) og \(\frac{1×3}{5×3} → \frac{3}{15}\).
Selve sammenlikningen er nå enkel. Den største brøken er 2,3. TODO
Regne om til desimaltall#
Så lenge vi snakker om brøk med tall kan en rask algoritme være å regne brøkene om til desimaltall (eller prosent). Det fungerer dårlig når vi seinere får brøker med variable.
Grafiske representasjoner#
Med de riktige teknologiene kan det være effektivt å uttrykke to brøker grafisk (f.eks. på en tall-linje) og sammenlikne dem. Dette kan være effektivt om man skal sammenlikne mange brøker.