ⁿ Potens av brøk

Innhold

ⁿ Potens av brøk#

Forutsetninger og læringsmål#

Vi har egentlig ikke lært om rot eller potens ennå. Vi har iallfall ikke nevnt negative potenser. Likevel skal vi tyvstarte litt.

Tilsvarende regler er greit å kunne i algebra, men ellers er det greit å prioritere disse tingene litt lavere enn addisjon og multiplikasjon.

Læringsmål#

Du skal kunne

opphøye en potens i en eksponent

Introduksjon#

Vi sier, foreløpig uten forklaring eller bevis, at \(\frac{1}{a}\) er det samme som \(a^{-1}\). Da får vi også at \(\frac{1}{a^4} = a^{-4}\) og generelt at \(\frac{1}{a^n} = a^{-n}\) for hvilket som helst \(n\in ℤ\).

Representasjoner#

Formelspråk#

Merk den typografiske forskjellen på \(\frac{t}{n}^a\) (hele brøken er opphøyd i a) og \(\frac{t^a}{n}\) (bare telleren er opphøyd i a). Det er blant annt forskjell på hvor lang brøkstreken er og på den typografiske størrelsen til a.

Potens#

Først tyvstart om potens: \(a^4\) defineres som \(a×a×a×a\), altså a multiplisert fire ganger. Vi kan kalle potens repetert multiplikasjon, akkurat som vi kalte multiplikasjon repetert addisjon.

Negativ eksponent#

\(a^{-4}\) er \(\frac{1}{a×a×a×a}\), altså \(\frac{1}{a^4}\) eller \(\frac{1}{a}^4\). Vi snur altså brøken. Vi tar ikke med hele begrunnelsen her, før vi har jobbet med eksponent og med brudden brøk, men vi har at \({\frac{t}{n}}^{-4}\) er \(\frac{n}{t}^4\) (altså nevner og teller snudd) som er \(\frac{n^4}{t^4}\).