Algebraiske brøker (rasjonale uttrykk)#

Forutsetninger og læringsmål#

Introduksjon#

Vi skal nå understreke noen regler om brøker med variable i teller eller nevner.

Reglene er egentlig helt de samme som i regnereglene for brøker; men erfaringen er at noen bør gjentas.

Vi vil også gjenta at elever (og studenter) ikke bør lære regler uten mening; de bør skjønne hvorfor reglene er sånn, med representasjoner eller argumentasjon.

Representasjoner#

Representasjonene er mer eller mindre de samme som for vanlig brøk.

Formelspråk#

Sjokoladekake#

Algoritmer#

Algoritmene er egentlig mer eller mindre de samme som for vanlig brøk. Men erfaring har vist oss at noen bør gjentas:

Nevner ↦ 1#

\(\frac{3}{1} ↔ 3\) og \(\frac{a}{1} ↔ a\). Noen ganger har vi også nytte av å skrive om \(a\) til \(\frac{a}{1}\).

Samle (forkorte)#

Brøker kan samles ved å ta vekk samme faktor fra teller og nevner: \(\frac{2·3}{2·5} → \frac{3}{5}\), \(\frac{ab}{ac} → \frac{b}{c}\).

Noen ganger må vi faktorisere teller og faktorisere nevner for å se hvilke faktorer vi kan fjerne: \(\frac{6}{9} → \frac{3·2}{3·3} → \frac{2}{3}\). \(\frac{a^3·b}{a^2·b^2} → \frac{a·a·a·b}{a·a·b·b} → \frac{a}{b}\). I dette tilfelle måtte vi skjønne noe om potenser for å kunne faktorisere.

Hva om vi har mer kompliserte tellere, for eksempel \(\frac{ab + a^2}{ac}\)? Du har kanskje lært en regel om å “ta bort en \(a\) fra alle ledd”, eller føler dette er naturlig. Ikke bruk denne regelen uten at du forstår ordentlig hvorfor (og når) dette er lov. Du har bedre kontroll om du faktoriserer og så samler: \(\frac{ab + a^2}{ac} → \frac{a(b + a)}{ac} → \frac{b + a}{c}\).

\(\frac{a + b}{c} ↔ \frac{a}{c} + \frac{b}{c}\)#

Tenk deg en porsjon med et eple og en appelsin, og porsjonen er delt i to. Det er det samme som et eple som er delt i to pluss en appelsin som er delt i to.

Vi har altså regelen \(\frac{a + b}{c} ↔ \frac{a}{c} + \frac{b}{c}\). Vi kan sjekke om dette er riktig på flere måter:

  • I en representasjon, f.eks. eple/appelsin eller fliser. Vi kan altså gjøre en handling på en representasjon.

  • Sette inn noen tallverdier. For eksempel kan vi bruke innsettingen \(\{a ↦ 2, b ↦ 3, c ↦ 6\}\); da får vi at \(\frac{2 + 3}{6} ↔ \frac{2}{6} + \frac{3}{6}\). Dette er bare et eksempel og beviser jo egentlig ingenting; men kanskje vi får opplevelsen av “sånn må det alltid være” så vi har et generisk eksempel.

  • Vi kan kanskje klare å bevise det med kjente regler.