1.4.7. Likningssett#

Forutsetninger og læringsmål#

Likningssett bygger på likninger.

Vi skal bare såvidt smake på emnet; men det er et veldig viktig redskap i tekniske sammenhenger. Likningssett utvikles ofte videre i matriseregning; det skal ikke vi ha noe om.

Referanser#

Læreplan#

Introduksjon#

Introduksjon 1: Fra likninger og deler#

Vi har tidligere snakket om likninger: En likning med én variabel (f.eks. \(2x + 3 = 5\)) kan ofte løses, i den betydningen at det finnes én (eller flere) verdier (her: 1) vi kan putte inn i variabelen så likningen blir sann.

$2x + 4 = 6y ∧ y = 2 - x$

Én likning med to variable (f.eks. \(2x + 4 = 6y\)) kan derimot ikke løses på samme måte. Det er jo uendelig mange verdier for \(x\) som gjør likningen sann. Rettere sagt er det uendelig mange verdier for \(x\) og \(y\) som gjør likningen sann. To eksempler er \(x=2, y=1\) og \(x=4,y=2\). Skriver vi uttrykket inn i GeoGebra (oransje i figuren), får vi samme figur som for \(y = ⅓x + ⅔\). Det er kanskje ikke overraskende, siden uttrykkene er ekvivalente. Om vi setter inn \(x=2, y=3\) blir uttrykket usant; punktet (2,3) ligger ikke på linja.

Skriver vi inn en ny likning (f.eks. \(y = 2 - x\)) får vi en tilsvarende linje (lilla i figuren). Også her er det uendelig mange kombinasjoner som gjør uttrykket sant.

Settet med de to likningssett er et likningssett. Det er to likninger med to ukjente. Her er det bare ett tallpar som gjør begge likningene sanne på en gang. Vi ser av figuren at det er (1,1); vi kan også sette inn i formlene for å sjekke at det stemmer.

Vi skal stort stet jobbe med to likninger med to ukjente; det er også mulig å jobbe med tre likninger med tre ukjente og så videre.

TODO eksempel

Introduksjon 2: Fra likninger og boolsk logikk#

En likning er en påstand som kan være sann eller ikke. Et sett (mengde) med likninger, for eksempel to likninger, med og mellom, er et likningssett. Et likningssett er altså en påstand om at alle likningene i mengden er sann samtidig. Det kan selv være sant eller ikke.

TODO eksempel

Representasjoner#

Ord#

Her bruker vi ofte ordet og.

Formelspråk#

Vi bruker ofte Og-operatoren ∧ , for eksempel \(2x + 4 = 6y ∧ y = 2 - x\). Vi kan også skrive som mengde, for eksempel \(\{2x + 4 = 6y, y = 2 - x\}\). Det er også vanlig å skrive likningene under hverandre, f.eks.
$\( \begin{cases} 2x &- 6y &= -4\\ x &+ y &= 2 \end{cases} \)$ særlig når man får store likningssett og skal begynne med matriser.

Koordinatsystem#

Det er vanlig å skrive likningene inn i et koordinatsystem. Dette er vist over.

Merk at

  • da vi jobbet med likninger, skrev vi hver side inn for seg; løsningen ble et (eller flere) punkt (angivelse av løsningen x).

  • Når vi jobber med likningssystem, skriver vi inn hver likning som en linje; løsningen blir fortsatt et (eller flere) punkt (angivelse av løsningen for x og y).

Algoritmer#

Gjetting og simulering#

Løse grafisk#

Ofte praktisk i vår digitale tid

Løsing ved hjelp av datamaskin#

Ofte praktisk i vår digitale tid. GeoGebra: Solve

Utregning: Addisjonsmetoden#

$V₁ = H₁ ∧ V₂ = H₂$
↓
$V₁ + V₂ = H₁ + H₂$
Addisjonsmetoden
Ideen i addisjonsmetoden er ganske enkel: Man kan addere to likninger. Teknisk sett adderer man venstresidene og høyresidene.

Formålet med dette må være å gjøre ting enklere. Vi ønsker å fjerne en variabel (f.eks. y), så vi står igjen med én likning med én variabel. Denne kan så løses på vanlig måte.

Oppskriften (også vist i figuren) er altså

  1. Forberedelse: Omform likningene sånn at en addisjon kan fjerne en variabel

  2. Bruke addisjonsmetode-formelen

  3. Regne ut likning på vanlig måte. Nå vet vi verdien for én av variablene

  4. Innsetting: Sette denne verdien inn i en av de opprinnelige likningene, for å finne verdi for den andre

  5. Skrive svaret.

Det hender det også er praktisk å bruke en “subtraksjonsmetode”.

Graph

Utregning: Innsettingsmetoden#

$V = H ∧ x = A$
↓
$V$[$A$ satt inn for $x$] = $H$[$A$ satt inn for $x$]
Innsettingsmetoden
Ideen i innsettingsmetoden er også enkel: Man omformer en av likingene så den kommer på formen $x = A$ eller $y = A$. Så setter man uttrykket $A$ inn for $x$ (eller $y$) i den andre likningen; dermed har man fjernet variabelen, og står igjen med én likning med én ukjent. Denne kan vi løse på vanlig måte.

Vi må også her forberede litt — omforme en av likningene så en av variablene kommer alene på venstre side.

Graph

Hvilken metode skal man bruke?#

Det er i stor grad snakk om smak og behag. I noen tilfeller er en av metodene litt enklere.

En lærer må være stødig på begge metodene; en eksamensoppgave kan derfor spørre om løsning på begge måter.

Matriseregning#

Stor film.
Dette skal ikke vi ha noe om. Dette er bare ment som en cliffhanger.

En matrise er på en måte et antall likninger satt opp systematisk:
\(\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}\) kan tolkes som
\(1x + 9y = -13\\ 20x + 5y = -6\) En matrise kan også tolkes som en oversetter fra et koordinatsystem til et annet.

Læring#

Ekstra egnet for praktiske situasjoner, jmf. læreplanen?

Ekstra egnet for problemløsing?