Kvadratrot#

Forutsetninger og læringsmål#

Introduksjon#

Klassisk introduksjon#

Kvadratroten til et tall \(a\) er det positive tallet som ganget med seg selv blir \(a\). Kvadratroten til 9 er tallet som ganget med seg selv blir 9; dette tallet er 3.

Annen introduksjon#

Representasjoner#

Ord#

Vi snakker om å finne kvadratrot. Ordet kan forbindes med at vi legger tallet i et kvadrat (se nedenfor om fliser). Faktorene kalles her røtter. Kanskje ligger det her en metafor om at tallene “vokser opp av” røttene på samme måte som planter?

Formelspråk#

Kvadratroten av \(a\) skrives tradisjonelt \(\sqrt{a}\). Det at symbol skal over andre er trøblete i noen vanlige skriveprogram; noen velger derfor å skrive √a eller √(a) uten strek over a.

…og eksponent#

\(\sqrt{a}\) er det samme som \(a^\frac{1}{2}\). Da vi holdt på med eksponenter så vi at \(a^4\) er \(a*a*a*a\), fire ganger. \(\sqrt{a}\) er altså \(a*a*a*a\), men en halv gang i stedet for fire.

Dette er illustrert under potens.

Fliser#

Hvilke heltall mellom 1 og 20 kan du legge som et kvadrat? Mer presist: Hvilke heltall kan du få som areal om du har sider som er heltall? Tallet 4 kan for eksempel legges som kvadrat, med sidelengde 2; tallet 5 kan ikke bli et kvadrat med heltallig side (siden måtte blitt omtrent 2.236).

Repetisjon: Multiplikasjon kan representeres i flis-språket. For eksempel kan 3×3 representeres som . Faktorene er høyde og bredde, og produktet et slags areal. Svaret vises i fargen nederst til høyre.

Å ta kvadratrot av et tall vil si å legge i kvadrat. \(\sqrt{9}\) kan representeres som ;
\(\sqrt{144}\) kan representeres som

Regneark#

I Excel har man =SQRT(64).

Python#

I Python har man math.sqrt(64)

Algoritmer#

Legge i kvadrat#

Prøve seg fram#

Justere litt opp og ned…

Automatisering: Gjenkjenne kvadrattall#

Vi bør raskt kunne regne ut kvadratrot av små kvadrattall: \(\sqrt{0}\), \(\sqrt{1}\), \(\sqrt{4}\), \(\sqrt{9}\), \(\sqrt{16}\), \(\sqrt{25}\), \(\sqrt{36}\), \(\sqrt{49}\), \(\sqrt{64}\), \(\sqrt{81}\), \(\sqrt{100}\), \(\sqrt{121}\), \(\sqrt{a^2}\).

Øvre og nedre grense#

Ofte er det vanskelig å finne nøyaktig kvadratrot, og heller ikke nødvendig. Da kan man estimere. \(\sqrt{10}\) må være litt mer enn 3 og iallfall en del under 4.

Andre#

Mathematiac video som forklarer

  • en rutenettalgoritme “long division”

  • Continued fraction

  • “Babylonian’s method”

Sjekke kvadratrot#

Skal man sjekke om \(\sqrt{a} = b\) kan man regne ut \(b^2\) og se om man får \(a\).

Talltyper#

Kvadratrot er bare positiv!#

Vi pleier også å definere at en kvadratrot alltid er positiv. Riktignok er det sånn at (−3)×(−3) blir 9, men kvadratroten av 9 er likevel bare 3 og ikke −3.

Kvadratrot av noe negativt er ikke definert#

Ingen tall multiplisert med seg selv blir negativt (iallfall innenfor skolematematikken). Derfor finnes ikke kvadratrot til negative tall.

Man kan selvsagt definere et tall som er kvadratroten av −1; dette tallet kan vi kalle i. \(\sqrt{-1} = i\). i er et imaginært tall. Tall med i i seg, f.eks. \(2 + 3i\) kalles komplekse tall.