1.5.8. Regler på objekt#
Forutsetninger og læringsmål#
Nå skal vi snakke om regler for hvordan vi kan skrive om et objekt (f.eks. \(2 + 3\)) til et annet (\(5\)). Slik kan vi bygge opp påstander (\(2 + 3 = 5\)). Mange regler gjelder generelt for mange objekt (f.eks. \(\overset{a + 0}{\underset{a}{↓}}\)).
Senere skal vi snakke om regler for hvordan vi kan skrive om en påstand til et annet — og bygge opp argumentasjoner.
Regler bruker vi jo helt fra begynnermatematikken; men vi blir mer bevisste på deres funksjon og hvordan de dannes i MA302.
Introduksjon#
Eksempler#
TODO
Representasjoner#
De fleste representasjoner går mot høyre eller nedover.
Ord#
Formelspråket#
Likhetstegn#
Tegnet = i uttrykket \(A = B\) betyr egentlig at \(A\) og \(B\) er like. I mange sammehenger brukes det dessverre med en litt annen betydning: At \(A\) kan skrives om til \(B\). Noen, tilmed lærere, skriver \(2 + 3 = 5\) når de egentlig mener at \(2 + 3\) kan skrives om til \(5\).
Årsaken er lett å forstå: Når vi har at \(2 + 3\) kan skrives om til \(5\) vet vi at de to er like. Omskrivingen kan gjøres til en regel. Vi kan kanskje si at \(\overset{A → B}{\underset{A = B}{↓}}\).
Vi vil likevel påstå det er nyttig å skille mellom “\(A\) kan skrives om til \(B\)” (som vi vil skrive \(A → B\)) og “\(A\) er lik \(B\)” (som vi skriver \(A = B\)).
Vår syntaks#
Vi vil oftest bruke loddrette, enkle piler: \(\overset{a + 0}{\underset{a}{↓}}\). Iblant vil vi markere at regler går begge veier \(\overset{a + 0}{\underset{a}{⇵}}\). Det hender også at vi skriver dette vannrett: \(a + 0 → a\).
Grafiske representasjoner#
Her har vi vel ikke standard representasjoner. Trenger vi det?
Algoritmer#
Bruke regler#
Dette er ofte enklere enn å lage dem.
Anvende en regel på del av uttrykk#
Ofte bruker vi en regel bare på en del av et uttrykk: \(2 + 3*4 =x\) kan bli til \(2 + 12 = x\) ved regelen \(\overset{3×4}{\underset{12}{↓}}\).
Anvende en generell regel på noe konkret#
Ofte når vi bruker en generell regel handler det om å “instansiere” eller “applisere”: Vi setter inn en konkret verdi inn i en generell regel. For eksempel setter vi inn verdi i variable. Vi bruker regelen \(\overset{1 × a}{\underset{a}{↓}}\) inn i situasjonen \(1×5\), ved at vi lar a få verdien 5. Da kan vi den konkrete regelen \(\overset{1 × 5}{\underset{5}{↓}}\) som lar oss skrive om \(1×5\) til \(5\). Dette ser enkelt ut her, men er kanskje vanskeligere i mer avanserte tilfeller? Kanskje er det vanskeligere for elever på et visst nivå?
Oppgave: Gitt regelen \(\overset{A ∧ B}{\underset{A}{↓}}\) (fjelltoppen betyr logisk og, huskeregel: And) og utsagnet “matematikk er interessant og matematikk er nyttig”, bevis at matematikk er nyttig.
Løsningsforslag
Vi kan definere A som “matematikk er nyttig” og B som “matematikk er interessnt”; da passer forutsetningen inn i regelen, og vi får ut A (altså at matematikk er nyttig).
Usagte småregler#
Eksempel: Vi har utrykket \(3x = 2x + 4\). Hvilke regler må vi bruke for løse likningen? Løs likningen, og formuler alle reglene. Brukte du regelen \(\overset{3 - 2}{\underset{1}{↓}}\)? \(\overset{1a}{\underset{a}{↓}}\)?
Slike småregler, for eksempel \(\overset{1a}{\underset{a}{↓}}\), er ofte selvsagte for lærere, men kanskje ikke så selvsagte for elever. De kan også være usikre på hva som er “lov”. Hva med \(\overset{0/a}{\underset{0}{↓}}\) — er den selvsagt? Er den i det hele tatt riktig?
Formulere regler#
Ane#
Noen ganger aner man en regel og kan formulere den i ord eller matematisk.
Generalisere#
Ofte finner man først en regel i et tilfelle, men kan senere generalisere den.
Først si den i ord#
Noen ganger er det enklest å først formulere regelen på norsk (eller et annet kjent språk) før man formulerer den i et “mer matematisk” språk (f.eks. formler).
Egnet formel#
Ofte aner man en regel først i en egnet grafisk representasjon.
Oppgaver#
Formuler, formelt, reglene for for
Argumentere for regler#
De følgende måte å lage regler på glir over i hverandre. Det kan tenkes at disse måtene å lage regler på brukes
av elever og oss når vi tenker
av elever og oss når vi lærer
av matematikere i matematikk-historien
Felles for alle måter å lage regler på er at vi trenger et representasjonsspråk. Om representasjonsspråket bare er formler kan vi ha en følelse av at vi ikke “forstår” beviset (relasjonelt?). Om representasjonsspråket fanger inn kjernen i beviset kan vi få en følelse av at vi forstår det.
Oppgave: Forklar 1. kvadratsetning \(\overset{(a + b)(a + b)}{\underset{a^2 + 2ab + b^2}{↓}}\) så du selv og en elev forstår det. Du kan bruke representasjoner for addisjon og multiplikasjon.
Lage regel ved en handling i egnet representasjon#
Oppgaver: For hver av de følgende skal du ①formulere en regel, ②finne et egnet representasjonsspråk og ③argumenere for regelen
2 + 3 → 5
Løsningsforslag
Regel: \(\overset{2 + 3}{\underset{5}{↓}}\)
Her er det mange varianter av tellbar mengde-representasjoner (inkludert epler, lego, fingre og annet) som fungerer. Handlingen “legge sammen” viser at to lagt sammen med tre blir fem.
Også tall-linjer er bra. Handlingen “hoppe” viser at om man hopper til to og så tre til kommer man til fem.
2 + 3 - 1 → 4
Løsningsforslag
Regel: \(\overset{2 + 3 − 1}{\underset{4}{↓}}\)
Skal man her bruke en variant av tellbar mengde er vanskeligheten hvordan man skal representere negative tall. Det kan gjøres på mange måter, f.eks. Lego opp-ned eller “kryss over” (som i kryss over et eple). Da kan handlingene være først å legge sammen to og tre og så fjerne en.
Kanskje tall-linje (f.eks. et termometer) er enklere? Da ka handlingene være “gå til to, gå tre til, gå en tilbake” og vi ender på 4.
Den kommutative lov for multiplikasjon
Løsningsforslag
Regel: \(\overset{a × b}{\underset{b × a}{↓}}\)
En flisrepresentasjon viser tydelig at dette stemmer.
Den assosiative lov for addisjon
Løsningsforslag
Regel: \(\overset{(a + b) + c}{\underset{a + (b + c)}{↓}}\)
Her kan man bruke tellbar mende. Vanskeligheten (?) er å representere parentes. Man kan for eksempel se for seg en plastpose rundt legoklossene.
Man kan også bruke tall-linje.
a er oddetall og b er oddetall → a+b er oddetall (her skal du gjøre det både med formel og et grafisk representasjonsspråk)
Løsningsforslag
Regel: Det er ok å si dette med ord: “Om a er oddetall og b er oddetall, er a+b også et oddetall”. Vil man si det med formel, kan man si \(\overset{a ∈ \textrm{oddetall} ∧ b ∈ \textrm{oddetall}}{\underset{a + b ∈ \textrm{oddetall}}{↓}}\)
En representasjon er å tegne rekker av par; f.eks. kan tallet 5 være ::.. Da ser man at ethvert oddetall kan skrives med et antall : og en .; to oddetall vil da ha mange : og to . og de to kan kombineres til :; dermed har man bare mange : og altså et partall. Dette er enkelre å tegne enn å skrive ☺.
Med formel: om a er et oddetall kan det skrives som \(2n + 1\). Om b er et oddetall kan det skrives \(2m + 1\); a + b blir da \(2n + 2m + 2\), som kan skrives \(2(n + m + 1)\). Dette er et partall.
En handling, regelbevis og en regel kan altså ofte gli over i hverandre. Er \(\overset{2 + 3}{\underset{5}{↓}}\) en handling eller regel? Hva med \(\overset{ax² + bx + c = 0}{\underset{x = \frac{-b ±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}{↓}}\), om handlingen er kvadratkomplettering?
Lage regler fra inni-regler#
Et langt bevis består gjerne av flere bevis. Først argumneterer vi for at premisset fører til A \(\overset{premiss}{\underset{A}{↓}}\), så argumenterer vi for at \(\overset{A}{\underset{B}{↓}}\), så argumenterer vi for at \(\overset{B}{\underset{konklusjon}{↓}}\).
Under dette ligger den transitive lov: \(\overset{A → B ∧ B → C}{\underset{A→C}{↓}}\).
Eksempel: Beviset for abc-formelen er egentlig mange små deler.
Lage regler fra bevis#
Når vi har bevist noe blir beviset ofte til en regel. Først beviser vi abc-formelen, og så lager vi en regel.
Lage regler fra eksempler (naturvitenskapelig induksjon)#
Når vi har sett at noe stemmer mange ganger, tenker vi at “det stemmer som regel”. Den menneskelige hjernen er god til denne type generalisering. Dette kalles naturvitenskapelig induksjon, og er noe helt annet enn matematisk induksjon.
Behaviourismen tenker at mennesker lærer på denne måten.
Imidlertid er dette ikke noen matematisk sunn måte å lage regler på. Det kan jo hende at selv om en ting stemmer 1000 dager, kan den slutte å stemme den 1001. natta. Om vi 10000 dager har våknet og så sovnet søtt kan det fortsatt hende at vi våkner en dag uten å sovne igjen.
Bevis utifra eksempler er altså ikke gode matematiske bevis. En annen ting er at det kan være en god måte å lage intuisjon på, og en god måte å lage hypoteser på.
Naturvitenskap virker i prinsippet utifra eksempler.
Datatyper#
Dette er muligens i utkanten av MA302:
En regel fra et reelt tall til et reelt tall kan ha type sannhetsverdi: (ℝ → ℝ) → 𝔹. Eksempel regelen \(2 + 3 → 7\) er usann.
Læring#
Det vanskelige: Når skal vi bruke regelen?#
Noen ganger kan man tenke at det er lett å bruke en regel; det er bare vanskelig å komme på når vi skal bruke den.
I tilfellet \(4x² + 2x = 4\) vil en elev streve, inntil hen gjenkjenner at man kan bruke regler for å komme fram til \(4x^2 + 2x - 4 = 0\) og så bruke abc-formelen. Det vanskelige er altså å gjenkjenne at man kan bruke reglene.
Når vi skal lære (og lære bort) regler er det viktigste kanskje å lære å gjenkjenne hvilke regler vi kan bruke i hvilke situasjoner. Til det kreves forståelse, men vel også øving.
Eksempel: Hva er \(\frac{a^2 - b^2}{a - b}\)? Her er vel det vanskelige å gjenkjenne hvilken regel man kan bruke på telleren.
Er all tenking regler?#
Man kan spørre seg om all tenking er regler. Vi ser noen streker og flater foran oss, og har regler som “skriver om” dette til et vakkert ansikt; vi gjenkjenner noen ansikter, og “skriver det om” til en hyggelig samtale.
Det finnes måter å forklare / modellere hvordan regler i hodet er implementert i nerveceller og synapser.
Filosofi#
Regler på objekt eller regler på språklige representasjoner?#
Bruker vi regler på matematiske objekt eller på språklige representasjoner av dem?
Man kan argumentere for at vi ikke kan ta på eller se matematiske (platonske) objekt i det hele tatt, og at vi derfor bare kan tenke på språklige representasjoner. “Språk” inkluderer her både norsk, engelsk, formler, grafiske representasjonsspråk og språk vi har inne i hjernen.
Derfor vil en del filosofer tenke at vi bare kan gjøre matematikk med representasjoner. Derfor finnes det ikke noe overskrift “de egentlige matematiske tingene” i Mashov, bare overskrifter for representasjoner og algoritmer på dem.
Man kan, tror jeg, argumentere for at man kan tro at det finnes noe bak representasjonene; en slik tro kan sammenliknes med religiøs tro.