Førstegradsfunksjoner

Førstegradsfunksjoner#

Forutsetninger og læringsmål#

For mange vil førstegradsfunksjoner være det første møtet med funksjoner. Dette blir starten på å forstå funksjoner mer generelt.

Mange vil ha et forhold til førstegradslikninger som bakgrunn.

I så fall har vi denne situasjonen:

Læringsmål#

10. klasse: regne ut stigningstallet til en lineær funksjon og bruke det til å forklare begrepene endring per enhet og gjennomsnittsfart

Se også kompetansemål for funksjoner generelt.

Referanser og oppgaver#

NDLA om lineære funksjoner med både fagstoff og oppgaver

Mange kaller “konstantleddet” “skjæring med y-aksen”, og det er jo riktig. Vi vil foretrekke å kalle dette “skjæring når x er 0”, fordi dette uttrykket ligger litt nærere den matematiske virkeligheten.

Table 1.2 Ord for deler av funksjonsuttrykket#
$f$	$a$	$b$
(funksjons-)navn	stigningstall	konstantledd
I kurvere- presentasjon:	helling	skjæring når x↦0
Engelsk	slope	intercept
Farge, dette dokumentet	grønn	grønn

Formelspråk#

Den klassiske normalformen er $a x + b$ . $a$ kalles stigningstallet og angir hvor bratt kurven stiger; $b$ kalles konstantleddet og angir hvor høy funksjonen er når {x ↦ 0}.

Det er selvfølgelig ingenting som sier at argumentet må være x. Det kan med fordel ha lesbart navn, f.eks. alder. Om definisjonsmengden er ℕ (f.eks. argumentet er antall dager, som over) kan vi godt bruke n.

Kurve#

Dra i sliderne. Du kan også zoome, f.eks. med mushjulet.

Oppgaver:

Hvor i koordinatsystemet er nullpunktet?
Hva er definisjonsmengden (gitt av x-slideren, om du vil)?

Algoritmer#

Finne nullpunkt#

Et nullpunkt er punktet hvor funksjonsverdien er 0. Dette er skjæring med x-aksen, noe som kan være forvirrende siden det er y som er 0.

Vi kan altså finne et nullpunkt ved å lese av en kurve. Kurven kan du også lage selv, f.eks. i GeoGebra eller på nettet.

Vi kan også finne nullpunkt ved å løse en likning. La oss som eksempel finne nullpunkt til $f = λ x . 2 x + 3$ :
$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 0 \\ y & = & 0 \\ 2 x + 3 & = & 0 \\ 2 x & = & - 3 \\ x & = & \frac{- 3}{2} \end{array}$ og vi ser at funksjonen er null når $x \mapsto - 1.5$ . Nullpunktet er strengt tatt (-1.5, 0).

Dette kan vi også gjøre generelt for funksjonen $f = λ x . a x + b$ :
$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 0 \\ a x + b & = & 0 \\ a x & = & - b \\ x & = & \frac{- b}{a} \end{array}$ og vi ser at funksjonen er null når $x \mapsto \frac{- b}{a}$ .

Dette er altså en generell formel som vi kan lagre i formelbiblioteket og bruke når vi skal finne nullpunkt: Nullpunkt til funksjonen $λ x . a x + b$ er $(- \frac{a}{b}, 0)$ . Dette er eksempel på en utregning som blir kondensert inn i en formel.

Regne ut verdier#

Skal vi regne ut verdi for et spesifikt parameter (“en spesiell x”) bruker vi innsetting i funksjonsuttrykket.

Oversette mellom representasjoner#

F.eks.

Fra tabell til funksjonsuttrykk
Fra praktisk situasjon til funksjonsuttrykk
Figurtall

Særlig fra praktisk situasjon, jmf. disse kompetansemålene:

Identifisere stigningstall, konstantledd, skjæring med y-akse etc#

Modellere fra praktisk situasjon til funksjon#

Spesialtilfeller og typer#

Konstant#

Om a ↦ 0 får vi en konstant funksjon $f = λ x . b$ . Hvordan blir funksjonsverdiene av denne? Hvordan ser kurven ut? Dette er fint å diskuter med elever for å få dem til å forstå mer. Hva med $f (x) = 3$ ? Hva med $f (x) = 0 x + 3$ ?

Du kan sette a til 0 i GeoGebra-koordinatsystemet over.

Proporsjonal#

Om b ↦ 0 får vi en proporsjonal funksjon $f = λ x . a x$ . $x$ og $f (x)$ er da proporsjonale. Hvordan ser kurven ut?

Du kan sette b til 0 i GeoGebra-koordinatsystemet over og se hvordan dette blir.

Talltyper#

Definisjonsmengden og verdimengden er vanligvis ℝ. Funksjonen har type ℝ → ℝ.