Førstegradsfunksjoner#

Forutsetninger og læringsmål#

For mange vil førstegradsfunksjoner være det første møtet med funksjoner. Dette blir starten på å forstå funksjoner mer generelt.

Mange vil ha et forhold til førstegradslikninger som bakgrunn.

I så fall har vi denne situasjonen:

Graph

Læringsmål#

Se også kompetansemål for funksjoner generelt.

Referanser og oppgaver#

Mange kaller “konstantleddet” “skjæring med y-aksen”, og det er jo riktig. Vi vil foretrekke å kalle dette “skjæring når x er 0”, fordi dette uttrykket ligger litt nærere den matematiske virkeligheten.

Table 1.2 Ord for deler av funksjonsuttrykket#

\(f\)

\(a\)

\(b\)

(funksjons-)navn

stigningstall

konstantledd

I kurvere- presentasjon:

helling

skjæring når x↦0

Engelsk

slope

intercept

Farge,
dette dokumentet

grønn

grønn

Formelspråk#

Den klassiske normalformen er \(ax + b\). \(a\) kalles stigningstallet og angir hvor bratt kurven stiger; \(b\) kalles konstantleddet og angir hvor høy funksjonen er når {x ↦ 0}.

Det er selvfølgelig ingenting som sier at argumentet må være x. Det kan med fordel ha lesbart navn, f.eks. alder. Om definisjonsmengden er ℕ (f.eks. argumentet er antall dager, som over) kan vi godt bruke n.

Kurve#

Dra i sliderne. Du kan også zoome, f.eks. med mushjulet.

Oppgaver:

  • Hvor i koordinatsystemet er nullpunktet?

  • Hva er definisjonsmengden (gitt av x-slideren, om du vil)?

Algoritmer#

Finne nullpunkt#

Et nullpunkt er punktet hvor funksjonsverdien er 0. Dette er skjæring med x-aksen, noe som kan være forvirrende siden det er y som er 0.

Vi kan altså finne et nullpunkt ved å lese av en kurve. Kurven kan du også lage selv, f.eks. i GeoGebra eller på nettet.

Vi kan også finne nullpunkt ved å løse en likning. La oss som eksempel finne nullpunkt til \(f = λ x . 2x + 3\):
\(\begin{array}{rcl} f(x) &=& 0\\ y &=& 0\\ 2x + 3 &=& 0\\ 2x &=& -3\\ x &=& \frac{-3}{2} \end{array} \) og vi ser at funksjonen er null når \(x ↦ -1.5\). Nullpunktet er strengt tatt (-1.5, 0).

Dette kan vi også gjøre generelt for funksjonen \(f = λ x . ax + b\):
\(\begin{array}{rcl} f(x) &=& 0\\ ax + b &=& 0\\ ax &=& -b\\ x &=& \frac{-b}{a} \end{array} \) og vi ser at funksjonen er null når \(x ↦ \frac{-b}{a}\).

Dette er altså en generell formel som vi kan lagre i formelbiblioteket og bruke når vi skal finne nullpunkt: Nullpunkt til funksjonen \(λ x . ax + b\) er \(\left(-\frac{a}{b}, 0\right)\). Dette er eksempel på en utregning som blir kondensert inn i en formel.

Regne ut verdier#

Skal vi regne ut verdi for et spesifikt parameter (“en spesiell x”) bruker vi innsetting i funksjonsuttrykket.

Oversette mellom representasjoner#

F.eks.

  • Fra tabell til funksjonsuttrykk

  • Fra praktisk situasjon til funksjonsuttrykk

  • Figurtall

Særlig fra praktisk situasjon, jmf. disse kompetansemålene:

Identifisere stigningstall, konstantledd, skjæring med y-akse etc#

Modellere fra praktisk situasjon til funksjon#

Spesialtilfeller og typer#

Konstant#

Om a ↦ 0 får vi en konstant funksjon \(f = λ x . b\). Hvordan blir funksjonsverdiene av denne? Hvordan ser kurven ut? Dette er fint å diskuter med elever for å få dem til å forstå mer. Hva med \(f(x) = 3\)? Hva med \(f(x) = 0x + 3\)?

Du kan sette a til 0 i GeoGebra-koordinatsystemet over.

Proporsjonal#

Om b ↦ 0 får vi en proporsjonal funksjon \(f = λ x . ax\). \(x\) og \(f(x)\) er da proporsjonale. Hvordan ser kurven ut?

Du kan sette b til 0 i GeoGebra-koordinatsystemet over og se hvordan dette blir.

Talltyper#

Definisjonsmengden og verdimengden er vanligvis ℝ. Funksjonen har type ℝ → ℝ.