Vektorer#

Forutsetninger og læringsmål#

Introduksjon#

Rekke av tall#

Lister av tall kaller vi vektorer. I skolesammenheng møter man først vektorer med to eller tre elementer.

I følge denne definisjonen er altså en liste over årstall en vektor.

Lengde og retning#

../../../_images/Vector_from_A_to_B.svg.png

Fig. 2.3 \(\vec{a} = AB\)#

Av en vektor kan vi regne ut en lengde og retning; mange definerer en vektor som noe som har lengde og retning i et vektorrom.

Vektorer med to elementer kan tegnes som en pil på en todimensjonal flate (et ark); vektorer med tre elementer kan tegnes som en pil i et tredimensjonalt (fysisk) rom.

Ordforklaring: Vektor

Fra latin vector (en som bærer/transporterer). Sammenlikn vehicle.

Mange fysiske størrelser (hastighet, kraft) har lengde og retning, og er altså vektorer.

Representasjoner#

Formelspråk#

En vektor kan ha et navn, f.eks. \(v\). Ofte markerer vi at \(v\) er en vektor med en pil over (\(\vec{v}\)) eller ved å sette den i tykk skrift (\(\mathbf{v}\)).

En vektor kan angies ved start- og sluttpunkt: \(AB\) eller \(\overrightarrow{AB}\).

../../../_images/rgb.png

Fig. 2.4 Tredimensjonalt vektorrom#

../../../_images/hsv.png

Fig. 2.5 Tredimensjonalt vektorrom#

En vektor kan angies ved sine ordinat (elementer). For eksempel kan en tredimensjonal vektor angies som \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\) eller \((v_x, v_y, v_z)\). En farge kan også angies med en vektor \((rød, grønn, blå)\) eller \((hue, saturation, lightness)\). Fargerommet er altså tredimensjonalt.

En vektor kan også representeres loddrett, særlig om den oppfattes som en n×1-matrise: \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)^T = \begin{bmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3 \end{bmatrix}\)

Koordinatsystem#

En vektor kan representeres som en pil i et koordinatsystem.

Dette egner seg best for vektorer med to eller tre elementer.

GeoGebra#

I GeoGebra kan punkt og vektorer angies med vanlige parenteser (v = (2,3)), med lengde og retning (v = (4; 33.7°) med semikolon mellom). GeoGebra har funksjoner for f.eks. å regne ut lengde og retning av en vektor.

Excel#

I Excel er det svært vanlig å ha loddrettte eller vannrette lister med tall. Man angir en liste ved første og siste celle med kolon mellom (f.eks. A1:C1). Svært mange funksjoner virker på lister (=sum(A1:C1)).

Søylediagram#

Vi har allerede tall-linje-representasjoner for tall. En naturlig representasjon for liste av tall er å ha flere slike under hverandre, eventuelt å vri dem og ha dem etter hverandre. Da får vi noe som likner veldig på søylediagram!

Dette representasjonsspråket er godt egnet for vektorer med mange elementer.

Algoritmer#

Lengde#

Tenk Pythagoras. Lengde \(|\mathbf{v} | = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\)

Addisjon og subtraksjon#

Like lange vektorer kan adderes ved å addere tilsvarende elementer. Blir kommutativt.

Multiplikasjon#

Litt mer komplisert; Faktisk to typer multiplikasjon.

Statistikk#

Statistikk har mange operatorer som virker på lister av tall, f.eks. “gjennomsnitt”.

Aspekter#

  • Rekke av tall

  • Lengde og retning

Læring#