Eller

Forutsetninger og læringsmål

Læringsmål

Du skal kunne

• Oversette en setning fra norsk til “matematisk” med eller (alternativt eksklusiv eller)

• vite forskjell på eller og eksklusiv eller

Introduksjon

Marie spiste et eple eller en pære. Dette kan tolkes som “Marie spiste et eple eller Marie spiste en pære”. Setningen er sann om Marie spiste et eple, men usann om Marie bare spiste en appelsin.

eller og eksklusiv eller

Er setningen sann om Marie spiste både et eple og en pære? Ja — om vi snakker om vanlig eller er setningen sann om hun spiste minst en av dem. Tilsvarende: Setningen “2 er partall eller 2 er større enn 0” er positivt.

Ønsker vi å uttrykke at bare en av dem er sann, altså enten eller, kan vi bruke eksklusiv eller. Vi gjør dette ofte i dagliglivet på norsk, men har sjeldnere bruk for det i matematikken.

Representasjoner

Ord

På norsk kan ordet eller ha to betydninger; se over. Vi kan også snakke om disjunksjon.

Eller kan også assosieres med “minst én”.

På engelsk heter det selvfølgelig or.

Formelspråk

I matematikken bruker vi tegnet ∨, for eksempel \(\overset{A}{\underset{A ∨ B}{↓}}\). Merk den grafske likheten med ∪ (union).

Venn-diagram

I et Venn-diagram kan vi tegne to sirkler, for \(A\) og \(B\). \(A ∨ B\) blir da unionen av begge sirklene:

Fig. 1.42 Venn-diagram: Eller

Litt mer presist: Den første sirkelen er alle punktene (alle tilfellene) hvor \(A\) er sann. Den andre sirkelen er alle punktene hvor \(B\) er sann. Om vi fargelegger alle punktene hvor \(A ∨ B\) er sann får vi figuren over.

Venndiagrammet får fram sammenhengen mellom ∨ og ∪ (union), altså mellom boolsk logikk og mengdelære.

Sannhetsverditabell

En sannhetsverditabell understreker at \(A ∨ B\) er sann om minst en av \(A\) og \(B\) er sanne.

Table 1.6 Sannhetsverditabell, eller

A	B	A ∨ B
Sann	Sann	Sann
Sann	usann	Sann
usann	Sann	Sann
usann	usann	usann

Elektronikk

I elektronikk bruker man typisk dette symbolet:

Fig. 1.43 Venn-diagram: Eller

Python

Ordet or kan også brukes i Python, se eksempel på W3schools. I mange andre programmeringsspråk brukes | eller |; vanligvis kan man også skrive ∨.

Algoritmer

Evaluere om et uttrykk er sant

deMorgans lover

Intuitivt virker følgende riktig: Om det ikke er sant at A eller B er sant (altså at hverken A eller B er sann) må (både) ikke A være sann og ikke B være sann. Vi kan skrive:

\(\overset{¬(A ∨ B)}{\underset{¬A ∧ ¬B}{↓}}\)

Dette kan også bevises ved en sannhetsverditabell. Det finnes bare fire muligheter (linjer) for \(A\) og \(B\), og i alle fire mulighetene er \(¬(A ∨ B)\) lik \(¬A ∧ ¬B\).

Table 1.7 Bevis for de Morgans lov

A	B	A ∨ B	¬(A ∨ B)	¬A	¬B	¬A ∧ ¬B
S	S	S	u	u	u	u
S	u	S	u	u	S	u
u	S	S	u	S	u	u
u	u	u	S	S	S	S

Loven gjelder altså begge veier: \(\overset{¬(A ∨ B)}{\underset{¬A ∧ ¬B}{⇵}}\).

Vi kan også snakke om en symmetrisk lov fra ∧ til ∨: \(\overset{¬(A ∧ B)}{\underset{¬A ∨ ¬B}{⇵}}\). Denne begrunnes med eksempel og sannhetsverditabell på tilsvarende måte.

Introduksjon eller

Vet vi at A er sann, vet vi at A∨B nødvendigvis er sann:

\(\overset{A}{\underset{A ∨ B}{↓}}\)

Dette kan vises f.eks. med Venn-diagram eller sannhetstabell.

Talltyper

Operatoren ∧ tar to påstander og lager en påstand. Den er altså av typen 𝔹 × 𝔹 → 𝔹.

Operatoren ∃ (eksisterer) kan sees som en slags generalisering av ∨.

Eller (∨) har sammenheng med union (∪) og også +.

Didaktikk

Det kan være nyttig å understreke mange ganger at A, B og A∨B egentlig er påstander.