Regel: ad absurdum#
Forutsetninger og læringsmål#
Introduksjon#
"Når en liten mus skal ut og gå, må hun se seg for og passe på,
Det er mange her som ønsker at. få en deilig liten musestek til middagsmat.
Altså: Om hun ikke passer på blir situasjonen uutholdelig/absurd. Derfor må hun passe på.
En indirekte regel.
Eksempler#
Likning#
Likningen \(x + 2 = x + 1\) gir \(1 = 2\), som er absurd; derfor må likningen være usann i alle situasjoner.
Intet høyeste heltall#
Bevis at det ikke finnes noe høyeste heltall.
Løsningsforslag
Anta det finnes et høyeste heltall \(h\). Da kan vi lage et tall \(h+1\). Dette ville være høyere enn \(h\), og \(h\) er derfor ikke høyeste. De går mot antakelsen. Dermed kan ikke antakelsen stemme.
Summen av rasjonalt og irrasjonalt tall er irrasjonalt#
Bevis at summen av et rasjonalt og irrasjonalt tall er irrasjonalt.
Løsningsforslag
La oss kalle det rasjonale tallet \(q\) og det irrasjonale \(r\). Siden \(q\) er rasjonalt kan det skrives \(\frac{a}{b}\).
Vi antar at \(q + r\) er rasjonalt; dermed kan vi skrive \(q + r = \frac{c}{d}\). Vi har altså at \(q + r = \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + r\) og derfor \(c = \frac{ad}{b} + rd\) og \(\frac{cb - ad}{bd} = r\). Her ser vi at \(r\) kan skrives som brøk; dette står i motsetning til det vi sa om at det er irrasjonalt, og forutsetningen kan ikke stemme.
\(x^3 + x + 1 ⇒ x ∉ ℚ\)#
Bevis at likningen \(x^3 + x + 1 = 0\) ikke har rasjonale løsninger.
Dette beviset er vanskelig å illustrere, og har lett for å bli et “uforståelig” bevis.
Løsningsforslag
En løsning \(x\) er et tall som gjør at likningen er sann. Om løsningen \(x\) er rasjonal kan den skrives som brøk, f.eks. \(x=\frac{p}{q}\), hvor \(p\) og \(q\) ikke har samme faktor.
I så fall kan vi sette inn \(\{x ↦ \frac{p}{q}\}\) og får
\(\left(\frac{p}{q}\right)^3 + \frac{p}{q} + 1 = 0\)
\(\frac{p^3}{q^3} + \frac{p}{q} + 1 = 0\)
\(p^3 + pq^2 + q^3 = 0\)
\(p^3 + q^2(p + q) = 0\)
Siden \(q\) er faktor i \(q^2(p + q)\) må \(q\) være faktor i \(p^3\) også; dette leder til at \(q\) og \(p\) har samme faktor, som er i motsigelse til det vi sa.
Politisk argument#
“Hæ, vil du åpne for fri hasj? Hva trur du ville skje da?”
I det politiske liv skjer det at man beskylder motstanderen for noe hen egentlig ikke mener, og så viser de absurde konsekvensene av det. Dette kalles stråmannsargumentasjon.
Ad absurdum-bevis er kult. Å mene noe annet er dustete.
Hva er det absurde?#
I matematikken betyr “absurd” gjerne “logisk motsetning”. De fleste ad absurdum-bevis er altså selvmotsigelsesbevis.
Det kan likevel (slik Ellef bruker ordene) være absurditeter av andre slag. Beviser vi at 1 = 2 er det absurd, men neppe en selvmotsigelse.
I hverdagsargumentasjon bruker vi tilsvarende regel litt mindre stramt, og da kan “det absurde” være
noe som er uutholdelig (å bli spist)
noe som er urimelig (du kan da ikke mene det)
noe som er smertefullt
noe som er latterlig
…
Representasjoner#
Fig. 1.58 Om noe fører til noe absurd, bør man unngå det.#
Ord#
Formelspråket#
\(\overset{¬P ⇒ ⊥}{\underset{P}{↓}}\)
⊥ betyr her “absurd”.