Invers#
Forutsetninger og læringsmål#
Introduksjon#
For en operator ⊕ og et element x kan vi ha et annet element (som vi kan kalle y) som gjør at x⊕y = e. y kalles en invers (til x). Operatoren brukt på et element og den inverse av elementet skal altså gi identitetselementet.
For operatoren + og et element x er den inverse −x.
For operatoren × og et element x er den inverse 1÷x.
Om det er forskjell på x⊕y og y⊕x (altså at ⊕ ikke er kommutativ kan vi snakke om venstre- og høyreinvers. Strengt tatt snakker vi også om en mengde; men i lærerutdanningen snakker vi oftest om ℝ, og vi spesifiserer ikke mengden.
Flere eksempler på identitetselementet er på Wikipedia.
Representasjoner#
Ord#
Gitt en operator: Operatoren brukt på et element og det inverse gir identitetselementet.
Formelspråk#
Den inverse til x skrives noen ganger y, noen ganger x⁻¹. Om det står x⁻¹ i denne sammenhengen betyr det altså ikke \(x^{-1}\) som i potensregning, men den inverse.
Algoritmer#
Å sjekke om et element er invers (for en operator)#
Sette inn i regelen \(\overset{x ⊕ x⁻¹}{\underset{e}{↓}}\) og sjekke om dette stemmer.
Å finne inverse elementer til elevmenter for en operator#
Oppgaver: Hva er invers element til x (om det finnes)
Løsningsforslag
+: -x. Da får vi at \(x + (-x) = (-x) + x = 1\)
−: Finnes ikke: Subtraksjon har jo ikke noe identitetselement.
×: 1÷x.
Se også Wikipedia.
Å bruke den inverse#
Unik invers#
Om en operasjon er assosiativ, kan ikke et element ha mer enn én invers.
Løsningsforslag
Kontrapositivt: Anta at x og y begge er inverse. Da har vi at \(x = xe = x(ay) = (xa)y = ey = y\), altså \(x =y\).