2.Likning

Vi kan bevise abc-regelen på liknende måte. Vi begynner med en utregning som bruker kjente regler inni. Når vi vet at vi kan gå fra premisset (her: \(ax^2 + bx + c = 0\)) til konklusjonen (her: \(x = \frac{-b ±\sqrt{b^2 - 4ab}}{2a}\)) kan vi så gjøre det til en generell regel.

\(ax^2 + bx + c = 0\)
\(\small ↓\)
\(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)
\(\small ↓\)
\(x^2 + \frac{b}{a}x = −\frac{c}{a}\)
\(\small ↓\) Vi legger altså til \( \left(\frac{b}{2a}\right)²\) for å “fullføre kvadratet”
\(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)² = −\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)²\)
\(\small ↓\) Lettere å se om man regner baklengs?
\(\small ↓\)\(\left(x + \frac{b}{2a}\right)² = \frac{-c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)²\)
\(\small ↓\) Utvider brøker
\(\left(x + \frac{b}{2a}\right)² = \frac{-4ac}{4a²} + \frac{b²}{4a²}\)
\(\small ↓\)
\(\left(x + \frac{b}{2a}\right)² = \frac{b² -4ac}{4a²}\)
\(\small ↓\) Kvadratrot på begge sider
\(x + \frac{b}{2a} = ±\sqrt{\frac{b² -4ac}{4a²}}\)
\(\small ↓\)
\(x = -\frac{b}{2a} + \frac{±\sqrt{b² -4ac}}{\sqrt{4a²}}\)
\(\small ↓\)
\(x = -\frac{b}{2a} + \frac{±\sqrt{b² -4ac}}{2a}\)
\(\small ↓\)
\(x = \frac{-b ±\sqrt{b^2 - 4ab}}{2a}\)

(Mange vil oppleve at utregningen ser grei ut, om vi følger det ledd for ledd; men det er vanskelig å forstå prosessen med å komme fram til den. Det er kanskje enklest å komme fram til utregningen om man regner baklengs. Mer om dette om prosessen TODO)

Se også bevis