Algoritme#
Om algoritmer#
Inni-algoritmer#
Vi kan legge merke til at elevene bruker algoritmer de kjenner fra før: “Telle” og “Telle opp”. Dette er algoritmer “inne i” addisjonsalgoritmen. Vi skal kalle dem inni-algoritmer. Et annet vanlig navn er under-algoritmer eller delprosedyrer.
For voksne er det kanskje en selvfølge at 2+3 betyr det samme som 
og at 
betyr det samme som 5. For barn er dette kanskje ikke en selvfølge.
Eleven må være stødige på inni-algoritmene før eleven går løs på den store algoritmen. Om eleven ikke er stødig på å telle og å telle opp får det problemer med “2+3”. Om eleven får problemer med addisjon er det altså mulig at årsaken er mangler i telle-ferdighetene.
Når vi skal gjøre mer avanserte algoritmer (for eksempel multiplikasjon), skal vi bruke addisjon som inni-algoritme. Når vi kommer så langt må vi bli stødige på addisjon først.
Representasjon i algoritmen#
Vi kan også legge merke til at algoritmen forutsetter en tellbar mengde-representasjon. Med en god representasjon er algoritmen faktisk svært enkel! Algoritmen forutsetter altså eleven er stødig på et slikt representasjonsspråk. Når vi snakker om “2+3” vil fingre fungere fint. Når tallene blir større enn 10, må eleven “låne fingre” av en annen, eller vi kan bruke fyrstikker, legoklosser eller andre elementer. Det kan også være aktuelt å bruke større figurer (trefliser? Store legoklosser?) for tiere.
Oversettelser og forandringer#
Modellering#
Noen ganger er oppgaven gitt som en konkret situasjon, for eksempel som en tekstoppgave. Da må teksten først oversettes til en god representasjon. Da bruker vi også ordet modellering. Vi kan tegne opp:
Det kan også tenkes at det ligger en “2” mellom situasjonsbeskrivelsen og 
, og en “5” mellom 
og svaret.
Å lære en algoritme#
Første gangen et barn gjør oppgaven 2 + 3 skjer dette kanskje gjennom å utføre en algoritme som beskrevet over. Senere, når eleven har gjort regnestykket mange ganger, blir 2+3 lagret som et faktum i en slags tabell. Eleven bare “vet” at 2+3 blir 5 uten å telle. Vi kan
Denne siste overgangen kan brukes som en regel. Vi kan skrive den \(\overset{2+3}{\underset{5}{↓}}\). Denne regelen kan vi senere bruke til å forandre deler av uttrykk. Om vi for eksempel skal regne ut 2 + 3 + 4, kan vi bytte ut “2 + 3” til “5” og får 5 + 4. Senere skal vi se at vi også kan bruke regelen til å regne ut 12 + 13. Men vi må være stø på “2 + 3” først.
Notasjonen \(\overset{fra}{\underset{til}{↓}}\) for å uttrykke at noe kan skrives om fra fra til til er ikke standard. Det er vanligere å bruke notasjonen \(\frac{fra}{til}\), i tradisjonen Naturlig deduksjon etter Gentzen; problemet med den notasjonen er at den kan forveksles med brøk. Derfor vil vi inntil videre bruke notasjonen \(\overset{a}{\underset{b}{↓}}\) for å uttrykke at a kan skrives om til b.
Sagt på en annen måte: Det som først er en observasjon i en egnet representasjon kan læres til en prosedyre og så til å bli en fast regel.
Elevene bygger opp et stadig større bibliotek av slike regler. Voksne har et stort bibliotek av slike regler, og må være oppmerksom på at elever ikke har like stort bibliotek.
- Feedback / Bekreftelse / behaviourisme
- Strategier: Å gå løs på en algoritmen
- Å bygge bibliotek av regler
- Mestringsfølelse /motivasjon pr. regel
- Gode oppgaver er bevisste på representasjoner
Prosesser TODO#
Hva legger vi i en “prosess”?#
Overordnet. Strategi?
Vurdere rimeligheten i svaret#
En prosess er å vurdere svaret.
Oppgaver TODO#
Men helst vil vi ha oppgaver mer inne i teksten, ikke på slutten.
Egnet for samarbeid:
Lag oppgaver for elevene, fem for hvert punkt, som skal få fram Enkel addisjonsforståelse basert på tellbar mengde. Her kan dere altså lage enkle oppgaver som passer til å telle på fingrene e.l. Addisjon på tall-linje. Her kan dere lage oppgaver som passer til tall-linje. Vi ønsker å lære elevene flere strategier, og da må vi lage oppgaver hvor det er bra å bruke de forskjellige strategiene. En oppgave her kan være 99+3. Addisjon med kommutativitet En elev har regnet ut 17+4 = 11. Hva har skjedd? Hvilke representasjon tenker eleven i? Hint: Strengt tatt har vi ikke lært om representasjonen eller titall-systemet enda. Elever som fikk oppgaven 29 + 14 skrev disse utregningene. Hva kan de ha tenkt? Hvilke representasjoner kan de ha tenkt i? 30 + 14 - 1 = 43 20 + 10 + 9 + 4 = 20 + 10 + 13 = 43 29 + 14 = 33 29 + 11 + 3 = 43 29 + 14 = 2104 29 + 14 = 313
TODO: Semiotikk#
Representasjon: Formelspråket Vi har snakket om representasjonene “tellbar mengde” og “tall-linje”. Vi har også brukt sifre og +. Formelspråket er én representasjon av mange. Vi må ikke oppfatte at “2” er tallet mer enn “❤️❤️”; de er bare to representasjoner for det samme. Vi må heller ikke tenke at “2” er mer matematisk høyverdig enn “❤️❤️”. At formespråket, for eksempel “417”, er raskere å skrive enn tilsvarende antall hjerter, er en annen sak.
Det er utviklet gjennom hundrevis av år, og er ekstremt effektivt når man skal regne. Det er enklere å skrive tallet 42 enn å tegne tilsvarende antall hjerter. Det er derimot ikke bestandig enkelt å forstå. Det er ikke lett å se på sifrene “5” og “2” at de sammen blir “7”. Derimot er det greit å se at ❤️❤️❤️❤️❤️ og ❤️❤️ tilsammen blir ❤️❤️❤️❤️❤️❤️❤️.
Om representasjoner saussure.PNG
Vi forstår naturlige tall, og addisjon, og alt annet, gjennom representasjoner. Andre representasjoner er tall-linje, søylediagram, sektordiagram, funksjonsgrafer. Også utenfor matematikken forstår man gjennom representasjoner: Tekster, bilder, fransk, sosialøkonomisk fagspråk, smileys, kroppsspråk og mye annet.
Ordet representasjoner er mer eller mindre det samme som språk, begrepsverden og metaforer. Læring er i stor grad å lære representasjoner. Har man gode representasjoner, følger mye forståelse av seg selv.
Vi bruker språk både når vi skal kommunisere med hverandre og når vi skal tenke.
Språk kan uttrykke litt forskjellige ting og har forskjellige egenskaper. Ofte kan vi oversette greit mellom dem.
Senere skal vi se mer på hvordan vi lærer representasjoner. Ofte bruker vi en kjent representasjon til å lære en ny.
Noen ganger bruker vi fysiske objekter for å representere matematikk. Da snakker vi om “konkreter”. Noen snakker også om “digitale konkreter” når man bruker visuelt orienterte språk.
Læren om slikt kalles semiotikk (σημεῖον = sēmeîon ≈ tegn, merke). Noen av tankene over er assosiert med Ferdinand de Saussure.
Referanser QED 5-10 bind 1 4side1059–4.4 Semiotikk (om representasjoner etc.. Vi skal bare såvidt smake på det foreløpig) Oppgaver Innen naturlige tall: Si minst to fordeler med hver av representasjonene Hjerter Fysiske småstein Sifre Skrevne ord (altså “syttitre” skrevet i bokstaver) Lyder (altså “søttitre” uttalt som lyder) Innen funksjoner: Nevn minst fire representasjoner for funksjoner.
TODO from elsewhere#
Å kunne gjøre en algoritme#
Kondensering#
Når en algoritme blir godt kjent og godt oppøvd, blir den til en regel. Eksempel:
I programmering#
Hver boks (algoritme) kan bli implementert/modellert som en Python-funksjon.