Splitte (utvide) brøk#
Forutsetninger og læringsmål#
Læringsmål#
Du skal kunne
Splitte en brøk
Splitte en brøk til ønsket nevner
Hensikt#
Trenger til addisjon
Introduksjon#
Vi har tidligere sett at 
er lik 
. Å splitte (også kalt utvide) en brøk er å øke teller og nevner i en brøk så vi får en lik brøk.
Representasjoner#
Ord#
Vi kaller dette å splitte, siden vi splitter teller og nevner. Det kan tenkes vi burde finne et annet ord (finkorne? male?). Et vanlig ord er utvide, men dette ordet kan få noe til å tru at vi gjør brøken større.
Det motsatte av å splitte er å samle (forkorte).
Steinbit#
Å splitte en brøk (f.eks. ) er å dele hver del. Splitter vi med 2 deler vi hver del i 2. I dette tilfellet får vi altså . Dette representasjonsspråket representerer altså splitting på en naturlig måte.
Flis#
Vi kan utvide steinbitmetaforen på en annen måte: Sette en strek på tvers TODO Eksempel. Som før: nevneren er antall områder. Nevneren er antall deler som er farget.
Bløtkake#
Helt tilsvarende som steinbit.
Tall-linje#
Helt tilsvarende. Man hopper flere og kortere hopp. Splitter vi med en faktor 2 hopper vi dobbelt så mange hopp, men hoppene blir bare halvparten så lange. Man kommer til samme sted. TODO bilde
Formelspråk#
Å splitte en brøk \(\frac{a}{b}\) er å multiplisere telleren og nevneren med samme faktor, så vi får \(\frac{a·c}{b·c}\). \(\overset{\frac{a}{b}}{\underset{\frac{a·c}{b·c}}{⇵}}\).
Å utvide \(\frac{a}{b}\) med et tall \(c\) er å legge til \(c\) i lista over faktorer i både teller og nevner i brøken. Vi kan splitte alle brøker, og vi kan splitte med hvilket som helst naturlig tall.
Vi utvider lista over faktorer, og kanskje det er derfor dette ofte blir kalt for å “utvide brøken”. Men å “utvide brøken” gjør den ikke større, på samme måte som å forkorte den ikke gjør den kortere.
Oppgaver:
Algoritmer#
Utifra representasjonene over følger naturlige algoritmer for å splitte en brøk med en faktor f:
Steinbit, kake og liknende: Dele hver del i f deler
Tall-linje: Hoppe f ganger så mange ganger, men en f-del så lange hopp.
Formelspråket: Gange teller og nevner med f
Splitte til ønsket nevner#
Hittil har vi snakket om å utvide en brøk med en faktor.
Noen ganger ønsker vi heller å splitte til en gitt nevner. Vi har altså en brøk \(\frac{a}{b}\) som vi ønsker å regne ut til en brøk \(\frac{?}{c}\). Dette trenger vi når vi skal addere brøker.
Dette er en egnet oppgave for elever, før de leser den videre forklaringen.
For eksempel kan det hende vi vil splitte \(\frac{2}{3}\) så vi får nevner \(\frac{?}{12}\).
Da må vi se hvilke faktor som mangler i 3 for å få 12; hva må vi gange 3 med for å få 12? Vi må altså dele 12 på 3. Det blir 4. Så må vi splitte \(\frac{2}{3}\) med 4: \(\frac{2·4}{3·4}\) som blir \(\frac{8}{12}\).
Generelt: For å utvide \(\frac{a}{b}\) til en felles nevner \(c\) kan vi regne ut faktoren \(c÷b\) (i eksempelet: 4) og utvide brøken med denne faktoren. Da får vi \(\frac{a·c÷b}{b·c÷b}\) som blir \(\frac{a·c÷b}{c}\) — med nevneren vi ønsket.
Oppgaver:
Splitte heltall#
Vi kan splitte heltall også. Vi har alltid at \(\overset{n}{\underset{\frac{n}{1}}{⇵}}\) og kan splitte brøken \(\frac{n}{1}\) videre.
Splitte desimaltall#
Vi kan splitte desimaltall også, ved å først omforme det til brøk. 1.23 er jo lik \(\frac{123}{100}\).
Didaktikk#
Det er ofte fristende å bare fortelle elevene svarene, men ofte bedre å la dem oppdage sammenhenger selv.