1.2.9. Operator#

Forutsetninger og læringsmål#

Vi forutsetter at du kjenner noen eksempler på operatorer, for eksempel +, −, ×, ÷, √ og potens.

Graph

Om litt skal vi se at vi også kan ha variable som står for operatorer. Den videre teorien vil for mange være den mest generelle matematikken de er borti.

Introduksjon#

Operatorene er egentlig funksjoner.

Representasjoner#

Prefiks og infiks#

Funksjoner skrives ofte prefiks, det vil si at funksjonsnavnet skrives før operandene (argumentene). Har vi funksjonen f og operandene x og y er prefiks skrivemåte \(f(x, y)\). Tilsvarende kan vi si \(areal(lengde, bredde)\).

Operatorer skrives ofte infiks, det vil si at operatornavnet skrives mellom (“in”) operandene (argumentene). Har vi operatoren + og operandene x og y er infiks skrivemåte \(x + y\).

Operatorer kan også skrives infiks, f.eks. \(+(x, y)\). Uttrykket \(2 + 3 × 4\) ville da skrives \(+(2, ×(3,4)\). Funksjoner kan også skrives infiks (f.eks. \(x f y\)); det skal vi ikke gjøre.

Prefiks og infiks skrivemåter er bare to representasjoner av det samme.

(Man kunne også snakke om postfiks, hvor operatoren sto etter operatorene: (2,3)+. Man kan argumnentere for at tysk (med verbet til slutt) er et mer postfiks språk enn norsk.

Algoritmer#

Applisere (bruke) en operator med representasjonsspråk#

Eksempel: Operatoren “sette sammen”, i småstein-språket, gjør at det blir opplagt at 2 + 3 kan gjøres om til 5.

Applisere (bruke) en operator med regel#

Vi kan også bruke regler på operatorer. Et eksempel er \rule{a + 0}{a}, som vi kan bruke til å skrive 2 + 0 om til 2.

Oppgaver #

Disse oppgavene forutsetter at du har lest sidene under denne.

Avgjør om disse er assosiative, kommutative og hva som er identitetselement:

  • Addisjon av todimensjonale vektorer: Mengden er ℝ² og operasjonen er vektoraddisjon.

  • Mengden er ℕ (naturlige tall, positive heltall) og operasjonen er maksimum(x, y)

  • Mengden er ℝ (reelle tall) og operasjonen er minimum(x , y)

  • Mengden er ℕ og operasjonen er minste felles multiplum

  • Mengden av tekststrenger, operasjonen er konkatenering (tekstsammenkobling / tekstskjøting)

Løsningsforslag

  • Addisjon av todimensjonale vektorer: Mengden er ℝ² og operasjonen er vektoraddisjon.

    • Ja, ja, 0-vektoren (0,0)

  • Mengden er ℕ (naturlige tall, positive heltall) og operasjonen er maksimum(x, y) Ja maks(x,y) = maks(y,x), identitetselement er 0

  • Mengden er ℝ (reelle tall) og operasjonen er minimum(x , y)

    • Ja, ja, identitetselementet finnes ikke

  • Mengden er ℕ og operasjonen er minst felles multiplum

    • Ja, ja, 1

  • Mengden av tekststrenger, operasjonen er konkatenering (tekstsammenkobling / tekstskjøting)

    • Ja, ja, identitetselementet er den tomme streng “” (altså med ingen tegn)

Aspekter#

En operator symboliserer ofte en handling. Addisjon symboliserer for eksempel handlingen “legge sammen”, dvs. “sette ved siden av hverandre”. Subtraksjon symboliserer to forskjellige handlinger: “fjerne” og “se forskjell på”.

Talltyper#

Ikke relevant for GLU?:

  • + kan ha datatypen ℝ × ℝ → ℝ: Den tar to reelle tall og gir et reelt tall.

  • ÷ kan ha datatypen ℕ × ℕ → ℚ: Det kan få inn to naturlige tall og gi et rasjonalt (altså ikke-heltall). ÷ kan også ha ℝ × ℝ → ℝ.

  • √ kan ha datatypen ℝ⁺ → ℝ⁺: Den tar et positivt tall og gir et positivt tall. Et alternativ er ℝ → ℂ.

Læring#

Vi skiller noen ganger mellom operatoren addisjon og operasjonen addisjon. Operasjonen addisjon gjør da om et uttrykk med operatoren addisjon (f.eks. 2 + 3) til et annet (f.eks. 5). Vi bruker også ordet algoritme. I elevenes forståelsesutvikling er det ofte noe begynner som en operasjon (handling) og blir reifisert til en operator. Det som begynner som en handling (f.eks. legge sammen) blir til en “ting”.

TODO: Hvorfor lærer vi om dette?

  • Horisontkunnskap

  • Sier noe viktig om hvordan elever tenker? En del elever kan ane f.eks. at forskjellige typer motsatthet likner på hverandre.