Identitetselementet#

Forutsetninger og læringsmål#

Introduksjon#

\(\overset{a + 0}{\underset{a}{↓}}\). Addisjon har identitetselementet 0; legger vi 0 til et tall får vi tallet.

\(\overset{a × 1}{\underset{a}{↓}}\). Multiplikasjon har identitetselement 1.

Gitt en operator ⊕. Et element e er venstre-identitetselement for ⊕ om det stemmer at \(\overset{e ⊕ a}{\underset{a}{↓}}\) for alle a. Et element e er høyre-identitetselement for ⊕ om det stemmer at \(\overset{a ⊕ e}{\underset{a}{↓}}\) for alle a. Om vi har både at \(\overset{e ⊕ a}{\underset{a}{↓}}\) og at \(\overset{a ⊕ e}{\underset{a}{↓}}\) for alle a sier vi rett og slett at e er identitetselementet til ⊕.

Strengt tatt snakker vi også om en mengde; men i lærerutdanningen snakker vi oftest om ℝ, og vi spesifiserer ikke mengden.

Flere eksempler på identitetselementet er på Wikipedia.

Representasjoner#

Ord#

Identitetselementet til en operator er elementet som gir det samme når vi bruker operatoren på elementet og hvilket som helst annet element.

Formelspråk#

Vi skal bruke bokstaven e (selv om den kan forveksles med konstanten e ↝ 2.71828).

Alternativer

  • Noen ganger vil vi kalle det for ⓪ eller ①. Dette er ikke så vanlig; men Ellef mener dette er en god representasjon.

  • Vi kunne også kalt det i, men da kan det forveksles med den inverse (eller konstanten i → √-1).

Algoritmer#

Å sjekke om et element er identitetselement (for en operator)#

Sette inn i regelen \(\overset{A ⊕ e}{\underset{A}{↓}}\) og sjekke om dette stemmer.

Å finne identitetselementet for en operator#

Oppgaver: Hva er identitetselementet (evt. venstre- og høyreidentitetselementet til)

  • +

  • ×

  • − (her må vi passe på høyre- og venstreidentitet)

  • ÷ (og her)

  • ∪ union

  • ∩ snitt

  • ∧ og

  • ∨ eller

  • Kjede sammen tekster (i Python: String)

Løsningsforslag

  • +: 0. Vi får jo at x + 0 = x

  • ×: 1

  • − Høyreidentitet er 0; venstreidentitet finnes ikke.

  • ÷ (og her) Høyreidentitet er 1.

  • ∪ union: Ø (den tomme mengde) \(\overset{A ∪ Ø}{\underset{A}{↓}}\)

  • ∩ snitt: Hele universet

  • ∧ og: Sann \(\overset{A ∧ Sann}{\underset{A}{↓}}\)

  • ∨ eller: Usann

  • Kjede sammen tekster (i Python: String): Den tomme streng "".

Se også Wikipedia.

Å bruke identitetselementet#

Unikt identitetselement#

Bevis at en binær operator (altså med to argument) ikke kan ha mer enn ett identitetselement.

Løsningsforslag

Kontrapositivt: Anta at det finnes to identitetselement e og f. Da har vi \(e = e⊕f\) og \(e⊕f = f\); da har vi (ved transitivetet av likhet) at \(e = f\), som gir motsigelse.

Aspekter#

Talltyper#

Læring#