Likningsløsing#
Forutsetninger og læringsmål#
Strategier. Målet
Læreplan #
Annet#
(Hinna et al, 2016) s323
Introduksjon#
Strategier. Målet
Representasjoner#
Ord#
Jeg skiller mellom
løsning (argumentasjonen for at x er f.eks. 2)
løsing (prosessen for å finne en argumentasjon)
løsningsmengden (verdiene x kan være for at venstresiden er lik høyresiden, f.eks. {2})
I følge denne ordbruken har likningen \(x² = 4\) én løsning, og løsningsmengden har to elementer (−2 og 2). Men det er også vanlig å si at denne likningen har to løsninger.
Formelspråk#
Nedover. Implikasjon
Inni-algoritmer#
Algoritmer#
Her følger forskjellige strategier for å finne hvilke verdier for \(x\) som gjør at sidene er like store. Det er aldeles ikke sånn at en utregning er eneste måten å finne ut dette på.
Prøve seg fram#
La oss si du har likningen \(x - 2 = 3\). Du har mistanke om at dette stemmer om \(x ↦ 5\). Da kan du sette inn 5 for \(x\) og se om likningen blir sann eller ikke.
Pass likevel på at du finner alle løsningene. I likningen \(x^2 = 4\) kan man sette inn \(x ↦2\), og så er det fristende å si seg fornøyd. Problemet er at \(x ↦ -2\) også er en løsning som man ikke må glemme.
Gjetting og simulering#
Se løsningen direkte#
Uttrykket \(x = 3\) er teknisk sett en likning. I slike tilfeller ser vi direkte at den eneste verdi for \(x\) som gjør at venstresiden er lik høyresiden er .
Vi tar også med to sære eksempler: I likningen \(x = x\) ser vi direkte (om vi tenker oss om) at verdier for \(x\) gjør sidene like.
I likningen \(x = x + 1\) ser vi at verdier for \(x\) kan gjøre sidene like.
Gjette seg fram#
I en del tilfeller gjetter vi hva som er riktig løsning. Det er ikke noe galt i det, om vi finner et riktig svar og etterpå kan argumentere for at det er riktig!
For eksempel: I \(x^3 = 1000\) kan vi kanskje “føle” at dette har noe med 10 å gjøre. Vi løser altså ikke likningen formelt, men får en fornemmelse. Så kan vi sette inn \(10\) for \(x\), og se at det stemmer. Vår kunnskap om tredjegradslikningen sier at den bare kan ha én løsning. Dette er helt ok! Mange matematiske oppdagelser har vært gjort ved å først gjette/føle og seinere bevise.
Problemet er selvfølgelig at det ofte er vanskelig å gjette, og enda vanskeligere å argumentere. Eksempel: I eksempelet \(x^2 = 9\) kan vi kanskje gjette at \(x\) skal være \(3\); men hvordan vet vi at det ikke finnes flere løsninger? (hint: \(-3×-3 = 9\)).
Merk at vi kan gjette oss fram til en løsning, og senere lage et bevis.
Systematisk forbedre en gjetting / løse numerisk / iterativt / Indirekte#
En metode som er vanlig i industrien, og vil bli vanligere også i skolen, er å gjette et utgangspunkt som man så forbedrer. Se Newton’s method.
Simulering / modellering
Kulturelle og teknologisk- historiske aspekt#
Vanskelig før. Enkelre nå. Skolen tregt. Men industrien mye raskere. Svært mange likninger blir løst sånn. Også enklere å forstå, og mye kraftiger Fordelre:
Enklere å forstå
Enklere å utføre
Kraftigere
VIktigere kunnskap i det nye livet
Digitale verktøy#
En praktisk måte å løse likninger på er digitale verktøy. I GeoGebra kan man bruke Solve-kommandoen, f.eks. skrive Solve(x^2 = 4x). Du kan prøve dette i GeoGebras CAS (Computer Algebra System).
Et annet praktisk nettsted er Wolfram Alpha.
Det er klart at vi må kunne andre måter å løse likninger på, ikke minst for å forstå hva likninger er. Det er også klart at digitale verktøy er uaktuelle i visse situasjoner på skolen og i dagliglivet. Likevel: Det er nyttig og nødvendig å løse likninger med digitale verktøy!
Løsning ved hjelp av datamaskin (Computer Algebra Systems)#
Vi kan selvfølgelig diskutere hva som er “å løse selv” av å lage utregning, løse grafisk, løse ved CAS på datamaskinen og å spørre sidemannen. Men i praksis er dette en løsingsmetode som er praktisk og nøyaktig.
Et CAS (Computer Algebra System) er programvare som kan løse algebrastykker, for eksempel likninger. GeoGebra har slike muligheter. For eksempel kan man skrive Solve(x + 2 = x^2) og få opp løsninger.
Lage utregning med regler#
For mange er dette selve Metoden for løse likninger. Metoden har høy status; i skolen har det aller meste av tida tradisjonelt blitt brukt til dette, og fortsatt er dette hva som blir målt på mange eksamener.
Hovedalgoritmen er å gjøre likningen enklere og enklere inntil vi ser løsningen direkte (se øverst) (for eksempel at det står \(x = 3\)). Noen sier at “vi må få x-en alene på venstre side”. Vi gjør likningen enklere og enklere ved å bruke regler eller ved å bruke en representasjon (for eksempel balanserepresentasjonen).
Reglene er plassert under lover nedenfor. De viktigste er
Vi kan forenkle hver av sidene for seg, med vanlige matematiske lover.
Vi kan gjøre det samme på begge sider (noen ganger kan dette framstå som å “flytte over og skifte fortegn”).
Formler#
Noen ganger har vi utledet formler som kan plasseres i regelbiblioteket vårt. De vanligste eksemplene er for første- og andregradslikning; se under “Typer av likninger” for en oppsummering.