Ringer

Forutsetninger og læringsmål

Fig. 1.28 Ring

Vi forutsetter nå at du husker

• Alt som ble forutsatt under grupper

• Hva den distributive lov for to operatorer ⊕ og ⊗ \(\overset{a ⊗ (b ⊕ c)}{\underset{a ⊗ b ⊕ a ⊗ b}{↓}}\) er.

Introduksjon

En ring er en struktur som er litt mer komplisert enn en gruppe.

En ring er en ikke-tom mengde G og to operasjoner ⊕ og ⊗ som tilfredsstiller følgende krav:

• Begge operasjonene er assosiative

• Begge operasjonene har identitetselementer (ofte kalt 0 eller 1, vi vil noen gange kalle dem ⓪ og ①).

• ⊕ er kommutativ

  • Om også ⊗ er kommutativ har vi en kommutativ ring

• ⊕ har en invers

  • Om også ⊗ har en invers kaller vi strukturen for en kropp.

• ⊗ er distributiv

Dette betyr bl.a. at {G, ⊕} er en ring og at {G, ⊗} er en nesten-ring (presist: en monoid).

Eksempler

Standardeksempelet er {G ↦ ℝ, ⊕ ↦ +, ⊗ ↦ ×, ⓪ ↦ 0, ① ↦ 1, invers(x) ↦ -x}. Da er alle kravene tilfredsstilt.

Fig. 1.29 Det finnes mange sære ringer. Her er en fra Frugoo.

Representasjoner

Navn

Navnet historisk må forklares språkhistorisk, og har ikke så mye med formen ◯ å gjøre. Se Wikipedia. Men vi kan likevel bruke navnet til å huske, derfor bildene i høyre margin.

Det finnes et Unicode-tegn “Ring” (💍).

Hva “kommer først” — grupper eller ringer? Min huskeregel er at man er med i sosiale grupper før man får ring på fingeren.

Algoritmer

Avgjøre om en struktur er en ring

Sjekke kravene.

Oppgaver

Er ℤ, med vanlige operasjoner, en ring? ? Ja Nei

Er mengden av polynom (med reelle koeffisienter, med vanlige operasjoner, en ring? ? Ja Nei

Er mengden av alle funksjoner ℝ → ℝ (som altså tar et reelt tall og gir et reelt tall), med vanlige operasjoner, en ring? ? Ja Nei

Aspekter

Talltyper

Læring

Fig. 1.30 Ringer er en generalisering. One Generalized Ring to Rule Them All!

Bilde fra Peter J Yost / Wikipedia