Grupper

Forutsetninger og læringsmål

Vi forutsetter nå at du

• forstår hva en variabel-operator ⊕ er

• forstår hva den assosiative lov er: \(\overset{a ⊕ (b ⊕ c)}{\underset{(a ⊕ b) ⊕ c}{⇵}}\)

• forstår hva identitetselement e er: \(\overset{e ⊕ a}{\underset{a}{↓}}\) ∧ \(\overset{a ⊕ e}{\underset{a}{↓}}\)

• forstår hva invers x⁻¹ er: \(\overset{x⊗x⁻¹}{\underset{e}{↓}}\) ∧ \(\overset{x⁻¹⊗x}{\underset{e}{↓}}\)

• forstår hva den kommutative lov er: \(\overset{a ⊕ b}{\underset{b ⊕ a}{⇵}}\)

Etter at vi har lært om grupper skal vi se på ringer.

Introduksjon

En gruppe er en ikke-tom mengde G og en binær operator ⊕ som tilfredsstiller følgende krav:

• ⊕ er assosiativ

• Det finnes et identitetselement e

• Alle elementer i G har en invers

Gruppen kalles abelsk eller kommutativ om

• ⊕ er kommutativ

Eksempler

En gruppe er {ℝ, +}. Addisjon er assosiativ, identitetselementet er 0 og alle elementer a har invers −a. Her har vi altså innsettingen {G↦ℝ, ⊕↦+}. Siden + også er kommutativ, er denne gruppa abelsk eller kommutativ.

En annen gruppe er {ℝ, ×}. Multiplikasjon er assosiativ, identitetselementet er 1 og alle elementer a har invers 1÷a. Her har vi altså innsettingen {G↦ℝ, ⊕↦×}. Ikke bli forvirret av at variabelen ⊕ (leses “pluss-ring” e.l.) får verdien ×!)

Representasjoner

Fig. 1.27 Gruppe av matematikkstudenter fra Slippery Rock University

Navn

Navnet “gruppe” er et av de mange navnene som betyr noe annet i matematikken enn i hverdagslivet. I hverdagslivet betyr det vel en “samling personer eller objekter”, som i matematikken ville bli kalt mengde. Ordet “gruppe” i matematikken betyr altså noe annet!

Algoritmer

Avgjøre om noe er gruppe

Oppgaver: Avgjør om disse er gruppe; finn i så fall identitetselementet og hva som er invers til et element a.

• ℝ, +

Løsningsforslag

Identitetselement 0, invers til a er −a.

• ℤ (heltall), ×

Løsningsforslag

Nei! F.eks. 2 har ingen invers i ℤ (½ ∉ ℤ).

• ℝ (heltall), ×

Løsningsforslag

Nei! Elementet 0 har ingen invers. Det er ingen tall vi kan gange 0 med for å få 1.

• ℝ \ {0} (altså reelle tall unntatt 0), ×

Løsningsforslag

Ja! Identitetselement 1, invers 1÷a.

• ℝ ∪ {∞} (altså reelle tall og i tillegg tallet ∞, ×

Løsningsforslag

Ja! Med passelig tolking av ∞.

• Mengden av alle mengder, ∪ (union)

Løsningsforslag

Ja! Identitetselement Ø (den tomme mengde), invers komplementmengden.

Mer sære eksempler:

• Antall hele timer som er gått i døgnet, og addisjon. Nøkkelord: Restklasser og modulærregning

Løsningsforslag

• Ja absolutt, og mange grupper likner på denne. I denne matematikken har vi altså at 23 + 2 → 1 (to timer etter 23:00 er klokka 01:00). Identitetselementet er 0/midnatt: 0 timer etter hvilket som helst tidspunkt er tidspunktet. Alle elementer har en invers: 23:00 har 01:00 (siden disse to sammen er midnatt), 22:00 har 02:00 osv.

• Mengden av alle farger, fargeblanding (kan diskuteres)

Løsningsforslag

• Farger: Ja! Men det kan diskuteres hva fargeblanding er. Men om hvit blandet med hvilken som helst farge gir den andre fargen er hvit identitetselementet.

Flere eksempler på Wikipedia.