Kvadratsetningene

Forutsetninger og læringsmål

Her følger omtale av tre formler som er kjekke å kunne i seg selv, men som først og fremst tjener som introduksjon til formler.

Kvadratsetningene nevnes ikke eksplisitt i læreplanen, men blir ofte undervist på 8. trinn. Følgende kompetansemål er en generalisering av kvadratsetningene:

• 10. klasse: utforske og generalisere multiplikasjon av polynomer algebraisk og geometrisk

Elever bør være stødige i bokstavregning og særlig at \(\overset{A²}{\underset{A×A}{↓}}\) — eller bruke kvadratsetningene til å bli stødige i dette.

Vi vil bruke syntaksen {a ↦ 3} for å angi at man setter inn 3 for a, vi vil ikke skrive “a = 3”.

• NDLA om kvadratsetningene

Introduksjon

De tre reglene blir ofte presentert slik:

• Første kvadratsetning: \((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2\)

• Andre kvadratsetning: \((a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - 2ab + b^2\)

• Konjugatsetningen: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).

Representasjoner

Navn

De to første av reglene kalles “kvadrat-” fordi de har en parentes som blir kvadrert (²). Den tredje kalles noen ganger tredje kvadratsetning, selv om den strengt tatt ikke er et kvadrat.

Fliser

1. kvadratsetning

Om vi setter opp \((A + B)×(A + B)\) i flisspråket får vi noe som dette:

Til høyre litt forenklet:

Vi har altså at \(\overset{M × M}{\underset{M²}{↓}}\). Bokstaven M er valgt for å unngå forveksling med A og B i kvadratsetningen.

2. kvadratsetning

I 2. kvadratsetning må vi velge hvordan vi representerer minus. Her har vi valgt en strek, som minner om et minustegn, blant annet fordi en loddrett og en vannrett strek gir et kryss som kan minne om et plusstegn.

Her bruker vi altså loven \(\overset{−M × −M}{\underset{+M²}{↓}}\).

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen gir en positiv \(AB\) og en negativ, som da blir borte:

Her bruker vi altså loven \(\overset{M − M}{\underset{0}{↓}}\).

Formelspråk

De tre reglene blir ofte presentert med likhetstegn =. Dette er ikke feil. Likevel: Om vi oppfatter dem som regler er følgende representasjon kanskje mer lik det vi tenker:

• Første kvadratsetning: \(\overset{(a + b)(a + b)}{\underset{a^2 + 2ab + b^2}{↓}}\) eller \(\overset{(a + b)²}{\underset{a^2 + 2ab + b^2}{↓}}\)

• Andre kvadratsetning: \(\overset{(a - b)(a - b)}{\underset{a^2 - 2ab + b^2}{↓}}\) eller \(\overset{(a - b)²}{\underset{a^2 - 2ab + b^2}{↓}}\)

• Konjugatsetningen: \(\overset{(a + b)(a - b)}{\underset{a^2 - b^2}{↓}}\)

I kvadratsetningene (og andre formler) kan vi bruke hvilke bokstaver vi vil. Ofte bruker vi a og b i “kvadrsetning-reglene” for å unngå forveksling med en x og y som også finnes i sammenhengen. Noen ganger, når det finnes en a eller b i sammenhengen, bruker vi A og B for å understreke at disse er mer “i mønsteret” Bør formuleres bedre. Noen ganger, som over, bruker vi tilmed M og N.

Algoritmer

• NDLA 1T Kvadratsetningene

• ndla.no kvadratsetninger oppgaver

Innsetting / applikasjon

Vi kan sette inn tall i formlene:

\(\overset{(a + b)²}{\underset{a² + 2ab + b²}{⇵}}\), \(\{a ↦ x, b↦2y\}\)
↓
\(\overset{(x + 2y)²}{\underset{x² + 4xy + 4y²}{⇵}}\)

Multiplikasjon av tosifrede tall

Fig. 1.16 23² → (20+3)² → 400+120+9 → 529

Et interessant spesialtilfelle kommer av kvadrering av tosifrede tall. Tallet 23 kan jo skrives som 20+3. Har vi 23² kan vi skrive det som (20+3)². Da kan vi skrive \(\overset{(a + b)²}{\underset{a² + 2ab + b²}{⇵}}\), \(\{a ↦ 20, b↦3\}\) som gir \(\overset{(20+3)²}{\underset{20² + 2·20·3 + 3²}{⇵}}\) altså \(\overset{23²}{\underset{400+120+9}{⇵}}\), 529.

Baklengs bruk

Reglene gjelder begge veier. Vi kan altså bruke dem til faktorisering. Har vi \(4x^2 + 8xy + 4y²\) kan vi skrive faktorisere det til \((2x + 2y)²\). Det er særlig aktuelt med konjugatsetningen: \(4x^2 − 4y²\) kan skrives om til \((2x + 2y)(2x - 2y)\).

Dette er kanskje lett når man ser muligheten; men hvordan ser man muligheten?

TODO Lukte gjenkjennelse øvelse. Vidrekommende elever. Lukte at noe er kvadrat. Gjenkjenner mønsteret “Kvadrat minus kvadrat”.

Utregning → Bevis → Regel

Kvadratsetningene kan for elevene være en erfaring av at det som først var en utregning med regler de kunne fra før også kan regnet som et bevis på en generell regel.

Formidling

Under kvadratsetningene ligger det flere lover elevene kanskje ikke er sikre på, og som de trenger gjenoppfrisking og øving i:

• \(A × A ↔ A^2\); dette har de egentlig lært under multiplikasjon eller potens.

• \(-A × A ↔ A^2\); dette kan de ha lært under multiplikasjon eller negative tall.

• \(A × -A ↔ A^2\)

• \(-A × -A ↔ A^2\)

• \(A - A ↔ 0\) dette kan de ha lært under subtraksjon.