Multiplikasjon av algebraiske uttrykk#
Forutsetninger og læringsmål#
Introduksjon#
Representasjoner#
Algoritmer#
Å løse opp ×()#
I eksempelet \(a × (b + c)\) (kanskje skrevet \(a(b + c)\)) må vi huske å gange \(a\) med hele parentesen. Det var dette eksempelet vi begynte med da vi hadde appelsiner og bananer. Vi får \(a·b + a·c\).
Dette gjelder også når vi har mer komplisert parentes: \(a × (b - c + a^2)\) blir \(a×b + a×-c + a×a^2\) som blir \(ab - ac + a^3\). Her er det flere regler i sving på en gang, så det kan være lurt å skrive utregningen i små skritt, særlig når man jobber med elever.
For videre om dette se den distributive lov.
Regelen er \(\overset{A × (B + C)}{\underset{A×B + A×C}{↓}}\). Hva om vi har \((B + C) × A\)? Da kan vi først bruke den kommutative lov \(\overset{X × Y}{\underset{Y × X}{↓}}\) og skrive om \((B + C) × A\) til \(A × (B + C)\) (ved å la \(B + C\) ha rollen som \(X\) og \(A\) ha rollen som \(Y\)). Dette kan vi altså skrive om videre til \(A×B + A×C\). Vi har altså at \(\overset{(B + C) × A}{\underset{A×B + A×C}{↓}}\).
Det er lett å gå surr i alle bokstavene; jeg prøver å variere bokstavene for å skape minst mulig forvirring.
Å løse opp ()×()#
La oss si vi har utfordringen
\((m + n) × (o + p)\).
Argumentasjon 1: Bruke tidligere kjente regler#
Vi kan bruke regelen vi lærte nettopp (\(\overset{A × (B + C)}{\underset{A×B + A×C}{↓}}\)) på den måten at \(A\) settes til \(m + n\), \(B\) settes til \(o\) og \(C\) settes til \(p\). Innsettingen kan skrives som formel \(\{A ↦ m + n, B ↦ o, C ↦ p\}\). Da får vi
\((m + n)×o + (m + n)×p\).
Nå kan vi bruke regelen \(\overset{(B + C) × A}{\underset{A×B + A×C}{↓}}\), på første del av uttrykket, med innsettingen \(\{B ↦ m, C ↦ n, A ↦ o\}\), og få
\(o×m + o×n + (m + n)×p\).
Vi bruker den samme regelen en gang til, på siste del av uttrykket, med innsettingen \(\{B ↦ m, C ↦ n, A ↦ p\}\) , og får
\(o×m + o×n + p×m + p×n\).
Det er mye å forstå fra denne utledningen, men noen elever kan miste oversikten over hva som “egentlig” foregår.
Argumentasjon 2: Bruke flis-språket#
Vi har tidligere drøftet hvordan man skal regne ut 12 × 13. Da brukte vi blant annet flisspråket og figuren til høyre.
Vi kan gjøre noe liknende med \((m + n) × (o + p)\). Sammenlikn dette med \((10 + 2)×(10 + 3)\).
Forbindelsesstreker (alle med alle) #
Vi lagde tidligere en huskeregel ved å forbinde “alle med alle”:
Anvendelser#
Flere regler kan sees om spesialtilfeller av å multiplisere parenteser:
Multiplisere flersifrede tall og andre “ting med addisjon i”