Parenteser#
Forutsetninger og læringsmål#
Vi skal nå regne med parenteser.
Parenteser er ikke en egenskap med matematikken; det er en egenskap med formelspråket.
Parenteser i aritmetikk (tallregning) er enkelt; der kan vi vanligvis regne ut verdien av en parentes først. Derfor snakker vi ikke mye om parenteser i aritmetikk, iallfall ikke om å “løse opp parenteser”. Noen ganger blir parenteser først gjennomgått i forbindelse med algebra.
Parenteser i algebrasammenheng (hvor vi har variable) er vanskeligere. Men vi tror parenteser, formelsyntaks og algebra blir lettere om man får kontroll på dem én og én; derfor skal vi snakke om parenteser nå, mens vi er i aritmetikken, som en forberedelse til algebra som kommer snart.
Referanser#
Introduksjon#
Idéen med parenteser i matematikk er egentlig svært enkel: Det som står i parentes er en enhet. Vi kan tenke på parenteser som en bærepose.
Sier vi to av både eple og pære, mener vi to epler og to pærer. Med en formel kan vi si 2×(eple + pære). Vi skal ha to av hele parentesen, og skal derfor ha to pærer.
Parenteser i matematikk er altså noe helt annet enn parenteser i norsk. Parenteser i norsk (som denne) betyr nærmest “noe som kan sløyfes”.
Representasjoner#
Bæreposer#
Vi kan tenke på en parentes som en bærepose. I bæreposen til høyre ligger det en appelsin og tre bananer (og litt til). Sier vi “to bæreposer med en appelsin og tre bananer” mener vi “to (bæreposer med en appelsin og tre bananer)”. Åpner vi bæreposene blir det to appelsiner og seks bananer.
Dette kunne vi skrevet
\(2×\fbox{🍊🍌🍌🍌}\). Det blir (ved repetert addisjon)
\(\fbox{🍊🍌🍌🍌} + \fbox{🍊🍌🍌🍌}\) som blir
🍊🍌🍌🍌🍊🍌🍌🍌 og (ved kommutativ lov)
🍊🍊🍌🍌🍌🍌🍌🍌. Dette kunne vi kalle “å åpne en bærepose” eller “å åpne en parentes”.
Vi kunne også satt det opp i flismetaforen om vi ville. I flismetaforen setter vi opp multiplikandene (bæreposene) under hverandre. Vi kunne da fått
\(2×\fbox{🍊🍌🍌🍌}\).
\(↓\)
\(\fbox{🍊🍌🍌🍌}\)
\(\fbox{🍊🍌🍌🍌}\)
\(↓\)
🍊🍊🍌🍌🍌🍌🍌🍌.
Matematikere er late og skriver \(a\) for appelsiner og \(b\) for bananer. I stedet for å tegne en hel tegner vi bare venstre og høyre kant. Da får vi \(2×(a + 3b)\). Det er det samme som \(2a + 6b\).
Bæreposemetaforen kan selvsagt kombineres med småsteinmetaforen og andre ting: Man kan ha småstein, tall, brøker og det meste annet (tilmed andre bæreposer!) i en bærepose.
Ord#
Parentesliknende ting på norsk kan uttrykkes ved “både og”, “hele” og andre ord.
I muntlig språk, for eksempel når vi forklarer til elevene, kan det være nyttig å si “parentes start” og “parentes slutt” for tegnene “(” og “)”.
Formelspråk#
Når parenteser ikke betyr noe for betydningen kan vi velge om vi har dem. I 2 + (3 + 4) vil vi ofte ta vekk parentesen, men i noen sammenhenger beholder vi dem for tydelighet.
Vi kan også snakke om implisitte parenteser: 2 + 3 × 4 skal leses som 2 + (3 × 4). Det står en usynlig/implisitt parentes rundt gangestykket. Noen kaller dette regnerekkefølge. Noen ganger skriver vi en slik parentes selv om den er overflødig, for å tydeliggjøre til elever.
Typografi: Parentes-tegn kan representere forskjellige ting#
Når vi snakker om parenteser, mener vi vanlige parenteser, altså (). Det finnes også andre ting som blir kalt parenteser:
Vanlige parenteser (): Blir i matematikk brukt til “bæreposer”. I Python blir det også brukt for å representere funksjonsargumenter.
Klammeparenteser []: Blir i Python brukt til å representere lister.
Hakeparenteser {}: Blir i formelspråket brukt til å representere mengder. Blir i mange programmeringsspråk brukt til å representere blokker (men Python bruker innrykk for å representere dette).
Algoritmer#
Lærerens oppgave er å lære elever hva matematikk (for eksempel parenteser) betyr; lærerens oppgave er ikke å få elever til å pugge en mengde regler som de synes er vanskelig og glemmer. Derfor er det bedre å la elever oppdage de følgende reglene selv enn å bare presentere dem.
Å løse opp +()#
I eksempelet \(a + (b + c)\) kan vi bare ta bort parentesen: Det er det samme som \(a + b + c\). Det gjelder også om det er noe annet i parentesen: \(a + (b − c · d)\).
Hvordan skal vi sjekke om dette er riktig? En måte er å tenke i representasjon: Om vi har en appelsin pluss en pose med en banan og clementin, og fjerner posen, har vi en appelsin pluss en banan pluss en clementin.
En annen teknikk er å sette inn tall for (noen av) variablene, for eksempel \(\{b ↦ 3, c ↦ 5\}\). Da får vi at \(\overset{a + (3 + 5)}{\underset{a + 3 + 5}{↓}}\). Vi kan se at dette stemmer ved å regne ut: \(\overset{a + (8)}{\underset{a + 8}{↓}}\). Dette er en regel som stemmer. Dette er riktignok bare et eksempel, og vi kan ikke bevise med eksempler, men videre eksperimentering med andre tall kan overbevise oss om at sånn må det alltid være: Vi har et generisk eksempel.
Å løse opp −()#
Skal vi ta bort en parentes, som i \(a − (b + c)\), må vi ta bort hele parentesen. Vi må altså ta bort både \(b\) og \(c\). Vi får \(a − b − c\).
Noen sier her at man “skifter fortegn inne i parentesen”. Det blir riktig, men det er ikke sikkert at denne huskereglen er så enkel å forstå.
Hvordan skal vi sjekke om dette er riktig? Vi kan tenke i representasjon: Om vi har en appelsin minus en pose som inneholder en banan og clementin (om vi kan se for oss negative poser, da) har vi en appelsin minus en banan minus en clementin.
Vi kan også sette inn som over. Vi velger nå \(\{b ↦ 7, c ↦ 5\}\). Da får vi at \(\overset{a - (7 + 5)}{\underset{a -7-5}{↓}}\). Vi kan se at dette stemmer ved å regne ut: \(\overset{a - (2)}{\underset{a -2}{↓}}\) (som stemmer). Hadde vi “glemt å forandre fortegn inne i parentesen” ville vi fått \(\overset{a - (2)}{\underset{a - 12}{↓}}\), som ikke stemmer.
Å løse opp −(−)#
Skal vi ta bort en parentes med noe negativt i, må vi bruke flere regler på en gang. \(a - (b - c)\) blir til \(a - b --c\) som blir til \(a - b + c\). Det kan være bra for elevene å gjøre bare én ting om gangen i utregningen.
Det som først var en utregning i flere ledd (\(A - (B − C) → A - B −- C → A - B + C\)) kan nå kondenseres til én ny regel: \(\overset{A - (B − C)}{\underset{A - B + C}{↓}}\).
Også her fungerer formelen om “når det står minus foran parentesen, må man skifte fortegn i parentesen”. Og også her gjelder det at dette fort kan bli en magisk meningsløs regel. Vi må lære eleven mening!
Å løse opp ×()#
I eksempelet \(a × (b + c)\) (kanskje skrevet \(a(b + c)\)) må vi huske å gange \(a\) med hele parentesen. Det var dette eksempelet vi begynte med da vi hadde appelsiner og bananer. Vi får \(a·b + a·c\).
Dette gjelder også når vi har mer komplisert parentes: \(a × (b - c + a^2)\) blir \(a×b + a×-c + a×a^2\) som blir \(ab - ac + a^3\). Her er det flere regler i sving på en gang, så det kan være lurt å skrive utregningen i små skritt, særlig når man jobber med elever.
Sjekke om en oppgave (eller regel) er riktig#
Tenk i grafiske metaforer, f.eks. appelsiner, bananer, clementiner, dadler og så videre.
Sett inn tall for variablene (f.eks. 2 for a, 3 for b og 5 for c) og sett inn både i oppgave-uttrykket og i ditt svar: Tallverdien skal jo bli lik.
Sjekk med sidepersonen :-)
Aldri gjett! Ikke gjør noe dere er bare 90% sikre på! På eksamen kan man gjerne gamble; men nå er ikke vårt formål å gjøre ferdig flest mulig oppgaver, men å lære. Gjør bare det du er sikker på, så får du fred i sinnet (Buddha sa nok ikke dette). Et mulig unntak er på eksamen: Der kan man gjette.
Måter å tenke på#
Vi drøftet \(2×\fbox{🍊🍌🍌🍌}\) ved bæreposemetaforen. Det er flere veier elever kan følge til svaret. Her er noen:
Hvordan formidle#
Distinkt problem#
Parenteser er et distinkt problem som egentlig ikke har noe med algebra å gjøre. Derfor kan og bør vi lære studentene om parenteser før vi lærer dem om variable.
Om studentene må lære om både parenteres og variable på en gang kan det blir mye å gape over.
Kvikkbilder#
Oppgavert#
Oppgaver#
Addere og subtrahere med parentes#
Burde hatt noen representasjoner her.
\(a + (b + c)\):
Svar her. Du kan gjerne gjøre flere forsøk. Lysegrønt betyr “riktig, men ikke ferdig”.
a + (b + c),a+b+c
(ja, de første oppgavene er på en måte enkle. All matematikk er enkel når man kan den).\((a + b) + c\)
(a + b) + c,a+b+c\(a - (b + c)\)
a - (b + c),a-b-c\(a - (b - c)\)
Bruk gjerne flere trinn, f.eks. skriv en linje med \(--c\) før \(+c\).
a - (b - c),a-b+c
a - (b - c),a-b+c\(a - (-b + c)\)
a - (-b + c),a+b-c
a - (-b + c),a+b-c
a - (-b + c),a+b-c\(a - (a + b^2)\)
a - (a + b^2),-b^2
a - (a + b^2),-b^2\((a + b) - (a + b)\)
(a + b) -(a + b),0
(a + b) -(a + b),0
(a + b) -(a + b),0\(a + (a + a)\)
a + (a + a),3a
a + (a + a),3a
a + (a + a),3a\(a + (a × a)\) (ikke gjett! Når det ikke er mer å gjøre, er det ikke mer å gjøre.)
a + a × a,a+a^2
a + a × a,a+a^2
Multiplisere og dividere med parentes#
\(3 × (a × a)\)
3×(a×a),3*a^2
3×(a×a),3*a^2\(3 × (2 × 2)\)
3×(2×2),12
3×(2×2),12\(a × (a × a)\)
a×(a×a),a^3
a×(a×a),a^3\(3 × (a + b)\)
3 ×(a + b),3a + 3b
3 ×(a + b),3a + 3b\(a × (a + b)\)
a ×(a + b),a^2+a×b
a ×(a + b),a^2+a×b\(a × -(a - b)\)
Om du får en opplevelse av at dette er uoversiktlig, så splitt og hersk: Lag mange mellomregninger.
a × -(a - b),-a^2+a×b
a × -(a - b),-a^2+a×b
a × -(a - b),-a^2+a×b\(a × -(-a × b)\)
a × (-(-a × b)),a^2×b
a × (-(-a × b)),a^2×b
a × (-(-a × b)),a^2×b\((a + b) ÷ (a)\)
(a+b)/a,a+b/a
(a+b)/a,a+b/a
(a+b)/a,a+b/a\(a ÷ (a + b)\)
Er det ikke noe å gjøre, er det ikke noe å gjøre.
a/(a+b),a/(a+b)
a/(a+b),a/(a+b)\((a + b) × c\)
(a+b)×c,a×c+b×c TEST
(a+b)×c,a×c+b×c
Multiplisere parenteser#
\((a + b) × (c + d)\) Tegn denne opp i flismetafor e.l.
(a+b)(c+d),a×c+a×d+b×c+b×d TEST ×\((a + b) × (c - d)\)
(a+b)(c-d),a×c-a×d+b×c-b×d\((a - b) × (c - d)\)
(a-b)(c-d),a×c-a×d-b×c+b×d\((-a - b) × (-c - d)\)
(-a-b)(-c-d),a×c+a×d+b×c+b×d\((a + b)(a + b)\) (første kvadratsetning)
(a+b)(a+b),a^2+2×a×b+b^2\((a - b)(a - b)\) (andre kvadratsetning)
(a-b)(a-b),a^2-2×a×b+b^2\((a + b)(a - b)\) (tredje kvadratsetning)
(a+b)(a-b),a^2-b^2\((a + b)^2\)
(a+b)×(a+b),a^2+2×a×b+b^2