MEngdelære (skal flyttes)#
Forutsetninger og læringsmål#
Introduksjon#
Mengdelære TODO#
Mengdelære og boolsk logikk#
Representasjoner#
Ord#
Og kan assosieres med “begge” og med “både” som i “både A og B er sanne”.
På engelsk heter det selvfølgelig and.
Formelspråk#
I matematikken bruker vi tegnet ∧, for eksempel \(\overset{A ∧ B}{\underset{A}{↓}}\). Merk den grafske likheten med ∩ (snitt).
Venn-diagram#
I et Venn-diagram kan vi tegne to sirkler, for \(A\) og \(B\). \(A ∧ B\) blir da snittet av begge sirklene.
Litt mer presist: Den første sirkelen er alle punktene (alle tilfellene) hvor \(A\) er sann. Den andre sirkelen er alle punktene hvor \(B\) er sann. Om vi fargelegger alle punktene hvor \(A ∨ B\) er sann får vi figuren over.
Den ene sirkelen kan være situasjonene hvor Marie spiste et eple; den andre situasjonene hvor hun spiste en pære. Påstanden “Marie spiste et eple og Marie spiste en pære” påstår altså at vi er i begge sirklene.
Venndiagrammet får fram sammenhengen mellom ∨ og ∪ (union), altså mellom boolsk logikk og mengdelære.
Sannhetsverditabell#
En sannhetsverditabell understreker at \(A ∧ B\) er sann om begge av \(A\) og \(B\) er sanne.
A |
B |
A ∧ B |
|---|---|---|
Sann |
Sann |
Sann |
Sann |
usann |
usann |
usann |
Sann |
usann |
usann |
usann |
usann |
Python#
Ordet and kan også brukes i Python, se eksempel på W3schools. I mange andre programmeringsspråk brukes & eller &&; vanligvis kan man også skrive ∧.
Scratch#
Scratch Og#
Det eksisterer en blokk for and/or i Scratch. I Scratch er alle sannhetsverdier representert som sekskanter med spisse hjørner mot høyre og venstre; man ser tydelig at and-blokken tar to sannhetsverdier som inn-argument og selv er en sannhetsverdi.
(Sammenlikne ikke, som tar bare ett inn-argument)
Algoritmer#
Evaluere om et uttrykk er sant#
deMorgans lover#
Begrunnes med Venn-diagram eller sannhetsverditabell. Se detaljer under deMorgans lover for eller.
\(\overset{¬(A ∨ B)}{\underset{¬A ∧ ¬B}{⇵}}\).
\(\overset{¬(A ∧ B)}{\underset{¬A ∨ ¬B}{⇵}}\).
Eliminasjon og #
Om vi vet at A∧B er sann vet vi nødvendigvis at ∧ er sann.
\(\overset{A ∧ B}{\underset{A}{↓}}\)
Dette kan vises f.eks. med Venn-diagram eller sannhetstabell.
Den motsatte regelen \(\overset{A}{\underset{A ∧ B}{↓}}\) gjelder ikke. Hvordan kan vi (be)vise det?
Talltyper#
Operatoren ∨, akkurat som ∧, tar to påstander og lager en påstand. Den er altså av typen 𝔹 × 𝔹 → 𝔹.
Operatoren ∀ (for alle) kan sees som en slags generalisering av ∧.
Didaktikk#
Noe om at And på en måte er større og på en måte mindre enn Or. Ordet “Begge”. Flere (Strengere) kriterier gir færre (svakere) eksempler.