Likningsløsning#
Vi har snakket om likninger og likningsregler. Nå skal vi snakke om løsningen på en likning. Seinere skal vi snakke om hvordan vi kommer fram til en løsning.
Introduksjon#
Strategier. Målet
Representasjoner#
Ord#
Jeg skiller mellom
løsning (argumentasjonen for at x er f.eks. 2)
løsing (prosessen for å finne en argumentasjon)
løsningsmengden (verdiene x kan være for at venstresiden er lik høyresiden, f.eks. {2})
I følge denne ordbruken har likningen \(x² = 4\) én løsning, og løsningsmengden har to elementer (−2 og 2). Men det er også vanlig å si at denne likningen har to løsninger.
Formelspråk#
→#
For regler bruker vi i Mashov tegnet →, f.eks. \(\overset{A - B = C}{\underset{A = B + C}{↓}}\).
Løsning#
Det er flere måter å representere løsning på:
Noen ganger representeres løsningen med den enklest mulige likningen (“som har x alene på venstre side”): Likningen \(x - 2 = 3\) har løsningen \(x = 5\). En innvending mot denne representasjonen er at likningen \(x = 5\) forveksles med en løsning. Men dette er svært vanlig. Om løsningsmengden har flere verdier kan man utvide representasjonen med eller, for eksempel si “x er lik minus to eller x er lik to” (\(x = −2 ∨ x = 2\)). Da får man også formidlet at man her skal ha eller og ikke og). En innvending er at dette kan være ukjent syntaks for elever.
En annen representasjon er å sette opp løsningen som mengde. \(x - 2 = 3\) har løsningsmengden \(\{5\}\), gjerne oppgitt som \(x ∈ \{5\}\). Likningen \(x^2 = 4\) har løsningsmengden \(\{−2, 2\}\), gjerne oppgitt som \(x ∈ \{−2, 2\}\). Også her vil noen innvende at dette er ukjent syntaks for elever. Det kan dermed oppleves som magisk spesialsyntaks.
Mer uvanlig (men bedre?) representasjon er å ha et eget tegn for innsetting/substitusjon. Likningen \(x - 2 = 3\) har løsningen \(x ↦ 5\). Tegnet ↦ leses “får verdien” eller “blir satt lik”. Likningen \(x^2 = 4\) har løsningen \(x ↦ -2 ∨ x ↦ 2\) (noen vil også godta \(x ↦ {-2, 2}\). Dette er sannsynligvis lett å lese; en innvending er at dette er uvanlig i skolen. I tastaturenes barndom var det en mulig innvending at tegnet ↦ var vanskelig å skrive på tastatur; dette er neppe noen innvending med håndskrift eller gode måter å skrive formler på.
Inni-algoritmer#
Algoritmer#
Her følger forskjellige strategier for å finne hvilke verdier for \(x\) som gjør at sidene er like store. Det er aldeles ikke sånn at en utregning er eneste måten å finne ut dette på.
Men… dette går ikke!#
2 = 3
x = x + 1
Hva er en likning? Påstand
Aldri sann.
Verdimengde.
Representasjoner, f.eks. koordinatsystem
Men… dette går alltid!#
Tilsvarende.
Aspekter ved utregninger#
Bevis
Prosess (omtrent).
Forenkling
Løsningsmetoden kan være ingen, ett eller flere tall. Eksempler:
Likningen x = 2 har bare én x som gir sannhet: 2. Løsningsmengden er {2}.
Likningen x + 1 = 3 har også løsningsmengden {2}.
Likningen x² = 4 har faktisk to x-er: 2 og −2. Løsningsmengden er {-2, 2}.
Likningen x + 2 = x + 1 + 1 stemmer faktisk for alle x. Vi kan regne ut til x = x eller 2 = 2. Disse er jo alltid sant. Løsningsmengden er ℝ.
Likningen x + 1 = x + 2 er aldri sann. Løsningsmengden er {} (den tomme mengde).
Likningen \(\frac{x}{x} = 1\) er sann for alle tall — unntatt 0.
Mer kompliserte likninger kan ha svært kompliserte løsningsmengder.