Argumentasjon#

Dette er sider om argumentasjon, bevis etc.

Forutsetninger og læringsmål#

Du bør vite en del om utsagn, f.eks. likninger.

  • MA101-studenter bør vite at noe av dette går utenfor det man trenger å lære på GLU1.

  • MA302-studenter, derimot, skal

    • kjenne ordene objekt, generelt objekt, påstand/utsagn, argument, prosess og læring

    • vite forskjell på påstand og argument

    • vite forskjell på argument og prosess

    • vite hvordan handlinger på objekt kan bli til påstander

    • vite hvordan handlinger på påstander kan bli til argument

Læreplanen#

Tradisjonelt har bevis vært forbundet med avansert matematikk fra videregående skole og oppover. Fra 1990-tallet ble det vanlig blant forskere å jobbe bevisrettet langt tidligere (referanser fra [Stylianides, 2007]).

Resonnering og argumentasjon er faktisk et av kjerneelementene i LK20:

Resonnering i matematikk handler om å kunne følge, vurdere og forstå matematiske tankerekker. Det innebærer at elevene skal forstå at matematiske regler og resultater ikke er tilfeldige, men har klare begrunnelser. Elevene skal utforme egne resonnementer både for å forstå og for å løse problemer. Argumentasjon i matematikk handler om at elevene begrunner framgangsmåter, resonnementer og løsninger og beviser at disse er gyldige.

Hvorfor bryr vi oss om bevis i skolen?#

For å være sikker#

For matematikere er det viktig å bevise noe for å være sikker. Hvordan kan vi vite at noe er sant?

For å lære å argumentere#

Det er et mål for matematikkundervisningen å lære å argumentere. Argumentasjon er rett og slett en del av matematikken.

For å lære gjennom å argumentere#

«A proof ’s potential to promote understanding and conviction is one of the main reasons for which proof is so important for students’ learning of mathematics» (Stylianides, 2009, s. 10)

En del bevis viser hvordan matematikk er oppbygd og hvordan matematisk forståelse kan bygges.

Tilsvarende ser vi i matematikkhistorien at ny matematikk ofte oppstår når man skal bevise noe.

Introduksjon: Kolonnerammeverket#

Dette er en sortering av ting vi skal snakke om i MA302.

Tingene vi skal snakke om kan sorteres i noen “kolonner”. Oversikt er nedenfor, og du kan klikke på overskriftene.

Objekter

Objekt vi snakker om. tall, uttrykk etc.:
\(2\), \(1.618\), \(⅓\),
\(2+3\), \(2×3\),
\(3 - x\), \(a + b\) og \(f(x)\)

Påstander

Påstander om objektene Likninger etc.:
\(\textrm{Sann}\), \(\textrm{Usann}\),
\(2 + 3 = 5\),
\(3 - x = 1\)

=,

Argumenter

Argumenter om påstandene
Utregning, bevis etc.:
1+1 < 3 ⇒ 2 < 3
3−x ⇒ 2 = x

⇒

Prosesser

Prosesser om argumenter
Lage utregning, finne bevis

↝

Læring

Læring
Lære å lage en utregning

Vi har regler som virker på objekter, som gir påstander, og regler som virker på påstander, som gir argumenter.

Representasjoner#

Ofte skal vi bruke disse hovedprinsippene:

  • Objekter blir ofte representert med småstein, fliser, tall-linjer, kurver, formler eller andre vanlige representasjonsspråk.

  • Påstander blir ofte representert med vektstang, kurver, formler eller i andre vanlige representasjonsspråk.

  • Argumenter (f.eks. bevis) blir ofte representert med retning nedover (som en utregning). En regel kan skrives \(\overset{premiss}{\underset{konklusjon}{↓}}\).

  • Prosesser (f.eks. å finne et argument) blir ofte representert mot høyre.

Læring#

Talltyper#

Vi vil bruke symbolet 𝔹 for talltypen “boolsk”, altså talltypen som har verdiene sann og usann.