+ Addere og subtrahere brøker#
Forutsetninger og læringsmål#
Vi er endelig kommet fram til addisjon av to brøker. Dette er overraskende vanskelig, og krever mye innsikt og mange inni-algoritmer. Om elevene (eller dere studenter) har hull i forståelsen vil dere slite med addisjon!
Introduksjon#
Vi kjenner begrepene “addisjon” og “brøk” fra før. Dermed er det opplagt at vi kan snakke om “addisjon av brøk”.
Representasjoner#
Ord#
Formelspråk#
\(\frac{t_1}{n_1} + \frac{t_2}{n_2}\)
Småstein og fliser#
Også i kryss.
Algoritmer#
Addisjon av brøker med felles nevner#
Hva er summen av to fem-deler 
og en fem-del 
? Det blir 
. Vi kan tenke på femdelene som en slags enhet og si at det er to av dem pluss en av dem.
Generelt har vi at \(\overset{\frac{t_1}{n} + \frac{t_2}{n}}{\underset{\frac{t_1 + t_2}{n}}{↓}}\)
Subtraksjon blir helt tilsvarende. Svaret kan nå bli negativt. En femdel minus tre femdeler blir minus to femdeler, som kan representeres som 
.
Addisjon og subtraksjon av brøker med forskjellig nevner#
Addisjon av brøker med forskjellig nevner er vanskeligere. Det viser seg at vi må gjøre mye av det samme som når vi sammenlikner brøker. Vi må
Finne en felles nevner for de to brøkene
Splitte brøkene til denne felles nevneren
Addere brøkene som nå har samme nevner
Evt. samle
Her finnes diverse regler som kan brukes som snarveier. De kan være nyttige for en som forstår hvorfor de er sånn, men om de blir introdusert for tidlig kan de også føre til algoritmekunnskap løsrevet fra representasjonell kunnskap.
Utvide og addere#
Både utvide brøker til ønsket nevner (altså fellesnevneren) og å addere dem kan vi fra før.
Formel#
Den raskeste snarveien er kanskje å utvide begge brøker med den andres nevner. Da får de jo felles nevner. I formler blir dette \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\) kan altså gjøres om til \(\frac{ad}{bd} + \frac{cb}{bd}\) og \(\frac{ad+cb}{bd}\).
Den råeste formuleringen er kanskje \(\overset{\frac{t_1}{n} + \frac{t_2}{n}}{\underset{\frac{t_1·n_2 + t_2·n_1}{n_1·n_2}}{↓}}\). Den er kort og effektiv, men neppe alene egnet til å skape forståelse.
Subtraksjon#
Subtraksjon blir helt tilsvarende.
Forkorting til slutt#
Vi må huske på å sjekke om vi kan forkorte til slutt TODO en del opgpaver her
Didaktikk#
Om inni-algoritmer#
Om du nå er forvirret, er det forståelig. Det er mange ting som foregår samtidig. Mer nøyaktig er det mange inni-algoritmer som kjører samtidig. Din (lærerstudents) forvirring skal vi nå utnytte for å vise hvordan elever kan bli forvirret.
I figuren nedenfor er hver blå rute en algoritme. I Python kunne hver blå rute vært kjøring av en funksjon. Hver pil mellom to algoritmer betyr at den første er inni-algoritme av den andre, altså at den første blir kjørt av den andre. Prikkete linjer er linjer vi kunne brukt, men ikke anbefaler.
Dette er komplisert! Her må vi bygge byggesteiner skritt for skritt.
Vi kunne godt gått lengre til høyre også. Addisjon av brøker brukes som inni-algoritme i stadig nye algoritmer.
Mønsteret som ble beskrevet her gjelder selvfølgelig ikke bare addisjon av brøker. Det er grunn til at det gjelder svært mange algoritmer i matematikk.
Regning: Spørsmålet og målet til høyre, byggesteiner og argumentasjon fra venstre#
Målet er på høyre side: Å addere brøker, f.eks. ¾ + ⅙. Delene, byggesteinene, er mot venstre. Når vi løser en oppgave tar vi utgangspunkt i målet, fra høyre, og går mot venstre. Men vi regner likevel fra venstre mot høyre. Argumentasjonsretningen går fra venstre mot høyre. Spørsmålet (hva er ¾ + ⅙?) er på høyre side; svaret bygges opp fra venstre.
Læring skjer fra venstre#
En nybegynner må begynne fra høyre og jobbe seg mot venstre på jakt etter svar. Det er mulig å gå mye mer mot venstre enn vi har tegnet opp her: Inni 4 × 6, for eksempel, kunne man tenke 6+6+6+6 (repetert addisjon), og inne i der kunne man tenke diverse telle-algoritmer. Men: Viderekommende matematikere kjenner noen fakta (for eksempel at 4×6 blir 24), og trenger ikke gå så langt til venstre. Enda mer viderekommende matematikere vet at fellesnevner til /4 og /6 er /12 eller /24 uten å regne det ut.
Læring skjer altså også fra venstre. Vi bygger byggesteiner: Først telling, så addisjon, så multiplikasjon, så fellesnevner og så videre. En mer viderekommen matematiker vil ha lært flere byggesteiner. En matematiker (for eksempel en student eller elev) vil ha noen algoritmer langt til venstre som er automatisert; noen som er ganske godt kjent; noen som er litt kjent, og til høyre noen som er ukjent.
For å bygge byggesteiner trenger vi både å forstå og å øve.