Identitetselementet#
Forutsetninger og læringsmål#
Introduksjon#
\(\overset{a + 0}{\underset{a}{↓}}\). Addisjon har identitetselementet 0; legger vi 0 til et tall får vi tallet.
\(\overset{a × 1}{\underset{a}{↓}}\). Multiplikasjon har identitetselement 1.
Gitt en operator ⊕. Et element e er venstre-identitetselement for ⊕ om det stemmer at \(\overset{e ⊕ a}{\underset{a}{↓}}\) for alle a. Et element e er høyre-identitetselement for ⊕ om det stemmer at \(\overset{a ⊕ e}{\underset{a}{↓}}\) for alle a. Om vi har både at \(\overset{e ⊕ a}{\underset{a}{↓}}\) og at \(\overset{a ⊕ e}{\underset{a}{↓}}\) for alle a sier vi rett og slett at e er identitetselementet til ⊕.
Strengt tatt snakker vi også om en mengde; men i lærerutdanningen snakker vi oftest om ℝ, og vi spesifiserer ikke mengden.
Flere eksempler på identitetselementet er på Wikipedia.
Representasjoner#
Ord#
Identitetselementet til en operator er elementet som gir det samme når vi bruker operatoren på elementet og hvilket som helst annet element.
Formelspråk#
Vi skal bruke bokstaven e (selv om den kan forveksles med konstanten e ↝ 2.71828).
Alternativer
Noen ganger vil vi kalle det for ⓪ eller ①. Dette er ikke så vanlig; men Ellef mener dette er en god representasjon.
Vi kunne også kalt det i, men da kan det forveksles med den inverse (eller konstanten i → √-1).
Algoritmer#
Å sjekke om et element er identitetselement (for en operator)#
Sette inn i regelen \(\overset{A ⊕ e}{\underset{A}{↓}}\) og sjekke om dette stemmer.
Å finne identitetselementet for en operator#
Oppgaver: Hva er identitetselementet (evt. venstre- og høyreidentitetselementet til)
− (her må vi passe på høyre- og venstreidentitet)
÷ (og her)
Kjede sammen tekster (i Python: String)
Løsningsforslag
+: 0. Vi får jo at x + 0 = x
×: 1
− Høyreidentitet er 0; venstreidentitet finnes ikke.
÷ (og her) Høyreidentitet er 1.
∪ union: Ø (den tomme mengde) \(\overset{A ∪ Ø}{\underset{A}{↓}}\)
∩ snitt: Hele universet
∧ og: Sann \(\overset{A ∧ Sann}{\underset{A}{↓}}\)
∨ eller: Usann
Kjede sammen tekster (i Python: String): Den tomme streng
"".
Se også Wikipedia.
Å bruke identitetselementet#
Unikt identitetselement#
Bevis at en binær operator (altså med to argument) ikke kan ha mer enn ett identitetselement.
Løsningsforslag
Kontrapositivt: Anta at det finnes to identitetselement e og f. Da har vi \(e = e⊕f\) og \(e⊕f = f\); da har vi (ved transitivetet av likhet) at \(e = f\), som gir motsigelse.