Splitte (utvide) brøk

Splitte (utvide) brøk#

Forutsetninger og læringsmål#

Læringsmål#

Du skal kunne

Splitte en brøk
Splitte en brøk til ønsket nevner

Hensikt#

Trenger til addisjon

Introduksjon#

Vi har tidligere sett at er lik . Å splitte (også kalt utvide) en brøk er å øke teller og nevner i en brøk så vi får en lik brøk.

Representasjoner#

Ord#

Vi kaller dette å splitte, siden vi splitter teller og nevner. Det kan tenkes vi burde finne et annet ord (finkorne? male?). Et vanlig ord er utvide, men dette ordet kan få noe til å tru at vi gjør brøken større.

Det motsatte av å splitte er å samle (forkorte).

Steinbit#

Å splitte en brøk (f.eks. ) er å dele hver del. Splitter vi med 2 deler vi hver del i 2. I dette tilfellet får vi altså . Dette representasjonsspråket representerer altså splitting på en naturlig måte.

Flis#

Vi kan utvide steinbitmetaforen på en annen måte: Sette en strek på tvers TODO Eksempel. Som før: nevneren er antall områder. Nevneren er antall deler som er farget.

Bløtkake#

Helt tilsvarende som steinbit.

Tall-linje#

Helt tilsvarende. Man hopper flere og kortere hopp. Splitter vi med en faktor 2 hopper vi dobbelt så mange hopp, men hoppene blir bare halvparten så lange. Man kommer til samme sted. TODO bilde

Formelspråk#

Å splitte en brøk $\frac{a}{b}$ er å multiplisere telleren og nevneren med samme faktor, så vi får $\frac{a·c}{b·c}$. $\overset{\frac{a}{b}}{\underset{\frac{a·c}{b·c}}{⇵}}$.

Å utvide $\frac{a}{b}$ med et tall $c$ er å legge til $c$ i lista over faktorer i både teller og nevner i brøken. Vi kan splitte alle brøker, og vi kan splitte med hvilket som helst naturlig tall.

Vi utvider lista over faktorer, og kanskje det er derfor dette ofte blir kalt for å “utvide brøken”. Men å “utvide brøken” gjør den ikke større, på samme måte som å forkorte den ikke gjør den kortere.

Oppgaver:

Lag et regneark med input a, b og c som skriver ut ny teller og nevner.

Algoritmer#

Utifra representasjonene over følger naturlige algoritmer for å splitte en brøk med en faktor f:

Steinbit, kake og liknende: Dele hver del i f deler
Tall-linje: Hoppe f ganger så mange ganger, men en f-del så lange hopp.
Formelspråket: Gange teller og nevner med f

Splitte til ønsket nevner#

Hittil har vi snakket om å utvide en brøk med en faktor.

Noen ganger ønsker vi heller å splitte til en gitt nevner. Vi har altså en brøk $\frac{a}{b}$ som vi ønsker å regne ut til en brøk $\frac{?}{c}$. Dette trenger vi når vi skal addere brøker.

Dette er en egnet oppgave for elever, før de leser den videre forklaringen.

For eksempel kan det hende vi vil splitte $\frac{2}{3}$ så vi får nevner $\frac{?}{12}$.

Da må vi se hvilke faktor som mangler i 3 for å få 12; hva må vi gange 3 med for å få 12? Vi må altså dele 12 på 3. Det blir 4. Så må vi splitte $\frac{2}{3}$ med 4: $\frac{2·4}{3·4}$ som blir $\frac{8}{12}$.

Generelt: For å utvide $\frac{a}{b}$ til en felles nevner $c$ kan vi regne ut faktoren $c÷b$ (i eksempelet: 4) og utvide brøken med denne faktoren. Da får vi $\frac{a·c÷b}{b·c÷b}$ som blir $\frac{a·c÷b}{c}$ — med nevneren vi ønsket.