Indirekte og direkte regler#

Forutsetninger og læringsmål#

Du skal kunne

  • vite om et bevis er direkte eller indirekte

Introduksjon#

Regler (og bevis) kan deles i to grupper: Direkte og indirekte. Direkte regler er på en måte sterkere.

Indirekte bevis er de som inneholder en av de indirekte reglene: Ad absurdum eller Kontrapositiv.

Direkte bevis#

De fleste bevis, inkludert induksjonsbevis, er direkte. Direkte bevis bruker regler “rett fram”. Det er typisk at vi “lærer noe nytt for hvert skritt”.

Det er typisk at vi bygger en bevis på den transitive loven: Har vi en regel \(\overset{A}{\underset{B}{↓}}\) og en annen for \(\overset{B}{\underset{C}{↓}}\) har vi dermed en regel \(\overset{A}{\underset{C}{↓}}\). Vi kan si \(\overset{A→B ∧ B→C}{\underset{A→C}{↓}}\). Tegnet ∧ betyr altså And.

Det er også typisk at vi først beviser \(A\), så beviser \(B\) og så beviser \(A ∧ B → C\). Vi kan si \(\overset{A ∧ B ∧ (A ∧ B → C)}{\underset{C}{↓}}\). Skal vi tegne opp et slikt bevis grafisk får det flere grener oppover.

Kjernen her er at vi ikke forutsetter at ¬¬A er det samme som A. Vi snakker om hva som er sant, men forutsetter ikke at det som ikke er usant er sant.

Indirekte bevis#

Indirekte bevis er bevis som bruker noen av de indirekte reglene. De indirekte reglene forutsetter \(\overset{¬¬A}{\underset{A}{↓}}\). De forutsetter at en påstand er sann eller usann (det tredje finnes ikke: Tertium non datur).

De indirekte reglene er litt vanskelig å holde fra hverandre, og det er heller ikke det viktigste. Vi skal snakke om Ad absurdum og kontrapositiv.

To- og treverdilogikk#

I indirekte bevis forutsetter vi at alle påstander er sanne eller usanne. Vi har en toverdilogikk (tertium non datur). Det går også an å definere treverdilogikk: "$A$ eller $¬A$ eller $\textrm{kanskje} A$. Eksempler på det er *intuisjonistisk logikk*.
Det er visstnok sånn at de fleste retts-systemer, inkludert det norske og common law, har en toverdilogikk: Du er skyldig eller ikke skyldig. Det skotske, derimot, har tre verdier: "skyldig", "ikke skyldig" eller "[vi vet ikke helt](https://en.wikipedia.org/wiki/Not_proven)".

TODO hit

Representasjoner#

Ord#

Å anta det motsatte er absurd

“Absurd” = logisk motsetning, latterlig, smertefullt

Vil du åpne Norge for fri import av narkotika, hva tror du skulle skje da?

Stråmanndsstrategi

Formelspråket#

\(\overset{¬P ⇒ ⊥}{\underset{P}{↓}}\)

⊥ betyr her “absurd”.

Grafiske representasjoner#

Nedover

Task#

Bevis at det ikke finnes noe høyeste heltall

Bevis at summen av et rasjonalt og irrasjonatl tall er irrasjonalt

Algoritmer#

Lage regel fra egnet metafor#

Formuler regelen for, og argumenter for i en metafor

  • 2 + 31 → 4

  • Å flytte over i en likning

  • Den kommutative lov for addisjon

  • Den assosiative lov for addisjon

Lage regler fra inni-regler#

Transitivt

Aspekt#

  • Algoritmer

  • Regler

Datatyper#

Læring#

Men…#