🌷Eksempelargument

Forutsetninger og læringsmål

Vi skal senere snakke videre om ❀ generiske eksempler.

Referanser

Referanser som må skrives inn TODO1

Introduksjon

Hovedpoenget her er at når man skal vise at noe alltid stemmer, holder det ikke å vise til eksempler.

Naturvitenskapelig induksjon

Vi har et annet sted snakket om matematisk induksjon. “Naturvitenskapelig induksjon” er noe helt annet: Det er i prinsippet å gå fra eksempler til noe generelt. Hver gang vi har kastet en stein opp i været har den kommet ned igjen, så vi sier “det er en naturlov at når vi kaster en stein opp i været kommer den alltid ned igjen.

Dette holder kanskje i naturvitenskapen, men ikke som matematisk bevis. Matematikken er altså strenger enn naturvitenskapen.

Eksempel: Påstanden “alle primtall er oddetall”. Vi kan prøve dette med 3,5,7 og alle primtall videre så langt vi orker (og det vil stemme); men fortsatt har vi ikke bevist at det holder for alle primtall.

Motbevis

Selv om det ikke holder med 1000 eksemper for å bevise at noe alltid stemmer, holder det med ett eneste for å vise at noe ikke alltid stemmer.

Eksempel: Påstanden “alle primtall er oddetall”. Det holder med ett eneste eksempel (2) for å vise at denne påstanden ikke er sann for alle tall. (I praksis, når man har motbevist noe med moteksempel, kan man modifisere påstanden og så prøve igjen; for eksempel kan man modifisere påstanden til “alle primtall større enn to er oddetall”.

Representasjoner

Navn

Det er mange som ikke kaller dette “bevis”, og knapt nok “argumetasjon”.

Noen kaller dette empiriske argument. [Balacheff, 1988], [] kaller det “naïve empiricism”. Men det er ikke nødvendigvis empiri i slike argument. I [Reid and Knipping, 2010] er det vel ingen av eksemplene på dette som har empiri.

[]: Experimental “proofs”

Ord

Formelspråket

Det er ikke en regel at \(\overset{P(1) P(2) P(3) P(17)}{\underset{∀n ∈ ℕ P(n)}{↓}}\), ikke en gang om vi prøver ut \(P(n)\) for veldig mange eksempler av n.

Derimot er det en regel at et moteksempel (f.eks. 2) holder: \(\overset{¬P(2)}{\underset{¬(∀n ∈ ℕ P(n))}{↓}}\)

Eksempler

Alle mennesker jeg kjenner liker sjokolade; dette er likevel ikke noe argument for at absolutt alle liker sjokolade.

Det er ikke sant at alle mennesker liker fisk; jeg kjenner nemlig en som ikke gjør det.

I 10000 dager har jeg våknet og så sovnet søtt; dette er ikke noe bevis for at hver dag man våkner vil man sovne søtt.

Algoritmer

Vise elever at eksempler ikke holder

Du må altså vise elevene at dette ikke holder.

Se i litteraturen.

Utvikle elevers argument til ❀ generiske eksempler

❀ generiske eksempler

Læring

Eksemplers funksjon i læring

Eksempler er selvfølgelig fortsatt viktig i å forstå noe! TODO

Eksemplers funksjon i utvikling av argument

Eksempelr er fortsatt viktig når vi skal lage argument; bygger intuisjon.

Representasjon: Grønt

F.eks.

Behaviourisme

Behaviourismen tenker at mennesker lærer på denne måten? etterm ons, tor, fre fra USA

---

1

[] from empirical to proof? [Balacheff, 1988]