Den kommutative lov#

Forutsetninger og læringsmål#

Introduksjon#

Den kommutative lov er en egenskap ved noen operatorer. Om en operator ⊕ er kommutativ stemmer regelen \(\overset{A ⊕ B}{\underset{B⊕A}{↓}}\). For eksempel er + kommutativ fordi regelen \(\overset{A + B}{\underset{B + A}{↓}}\) er sann.

Representasjoner#

Ord#

Med ord kan man si at en operator er kommutativ om argumentene kan bytte plass. Det gjelder både om operatoren er skrevet infiks (f.eks. 2 + 3) og om den er skrevet prefiks (f.eks. f(2, 3)).

Formelspråk#

Den kommutative lov for ⊕ er \(\overset{A ⊕ B}{\underset{B⊕A}{↓}}\) (ofte skrevet \(A ⊕ B = B ⊕ A\)).

Vi kan også si dette prefiks: \(⊕(A, B) = ⊕(B, A)\).

Algoritmer#

Å sjekke om en operator er kommutativ#

Skal vi sjekke om en operator er kommutativ kan sette inn operatoren i den kommutative lov (\(⊕ ↦ ×\), om man vil) og sjekke om det stemmer. Om vi skal sjekke om multiplikasjon er kommutativ kan vi sjekke om det stemmer at \(a × b = b × a\). Om dette stemmer er × kommutativ.

Er divisjon kommutativ? Svaret er at divisjon .

Løsningsforslag

Stemmer det at \(a ÷ b = b ÷ a\)? Om dette er vanskelig å se kan vi prøve med et eksempel. Stemmer det at 2 ÷ 4 = 4 ÷ 2? Nei, dette stemmer ikke.

Forskjellige måter å bevise på#

Noen ganger når vi skal bevise at en operator er kommutativ kan vi forsøke å bevise det ved deduktiv argumentasjon. Det er ikke alltid enkelt. Til dette trenger man aksiom, f.eks. Peanos aksiomer.

Andre ganger kan vi prøve å vise det som handling i et representasjonsspråk (f.eks. addisjon på en tall-linje); da kan vi overbevise oss om at noe er sant.

Vi kan også eksperimentere med eksempler og prøve å lage et generisk eksempel.

Noen ganger når vi vil vise at en operator ikke er kommutativ er det bra med et moteksempel (som med divisjon over). Eksempler er et av våre generelle problemløsingsprinsipp.

Flere eksempler og oppgaver#

Operatoren “er forelsket i” (som på norsk sies infiks: “A er forelsket i B”) er ; en person kan være forelsket i en annen uten at den andre er forelsket i den første. “Er gift med” er .

  • Operatoren “er lik” er .

  • Operatoren “større enn” er

Oppsummering (noen av disse er tatt før):

  • Addisjon er .

Løsningskommentar

Addisjon: Vi har innført addisjon ved handlingen “sette sammen” på representasjonsspråkene tellbar mengde eller tall-linje; det synes klart at rekkefølgen vi setter sammen i ikke har noe å si. Vi kan altså “bytte rekkefølge” på to ting som er satt sammen (i disse representasjonsspråkene) uten at det har noe å si.

  • Subtraksjon er .

Løsningskommentar

Vises ved moteksempel, f.eks. 3 − 2 og 2 − 3.

  • Multiplikasjon er .

Løsningskommentar

Addisjon: Vi har representert multiplikasjon fliser, bygget på handlingen “gjentatt addisjon” på representasjonsspråkene tellbar mengde. Det synes klart at vi kan dreie en flis, altså bytte plass på operandene, uten at innholdet blir forandret. Tilsvarende kan vi lage et generisk eksempel av at to tre ganger er det samme som tre to ganger. Dette understøttes også av mange eksempler.

  • Divisjon er .

Løsningskommentar

Vises ved moteksempel, f.eks. 4 ÷ 2 og 2 ÷ 4.

  • Potens er .

Løsningskommentar

Vises ved moteksempel, f.eks. 2³ og 3². Men dette er kanskje overraskende for oss (og for mange elever).

Å bruke loven for en operator#

Eksempel +: Vet vi at + er kommutativ kan vi skrive om 2 + 103 til 103 + 2. Noen vil tenke at det siste er enklere å regne ut.

Læring#

Mulig aktivitet: Drama i praksis: Kommutativitet