Regler på påstander#
Forutsetninger og læringsmål#
Nå skal vi snakke om regler for hvordan vi kan skrive om en påstand (f.eks. \(x - 2 = 5\)) til en annen (\(x = 5 + 2\)). Referanser:
Introduksjon#
En regel er en regel om at vi kan skrive om en eller flere premisser til en konklusjon. Vi har tidligere snakket om regler som skriver om objekt; nå skal vi snakke om regler som skriver om påstander. Om regelen er gyldig vet vi at
Om premissene er sanne, er konklusjonen sann
I alle situasjonene hvor premissene er sanne, er konklusjonen sann
Det er vel først og fremst de generelle reglene som er interessante, for eksempel
\(\overset{a > b ∧ b > c}{\underset{a > c}{↓}}\) (her kan \(a\), \(b\) og \(c\) være relle tall. Dermed blir \(a > b\) en påstand)
\(\overset{A ⇒ B ∧ B ⇒ C}{\underset{A ⇒ C}{↓}}\) (her kan \(A\), \(B\) og \(C\) være påstander)
\(\overset{x − 2 = 5}{\underset{x = 5 + 2}{↓}}\). Enda mer generelt: \(\overset{A − B = C}{\underset{A = C + B}{↓}}\).
Representasjoner#
De fleste representasjoner går mot høyre eller nedover.
Ord#
En regel (rule) har altså et eller flere premiss og en konklusjon.
Formelspråket#
Naturlig deduksjon#
Tradisjonen “Naturlig deduksjon” (Gentzen, 1934) skriver premisset over en strek og konklusjonen under. \(\frac{a - b = c}{a = c + b}\). Problemet med dette, for oss, er at syntaksen kan misforstås som brøk.
Vår syntaks#
Vi vil oftest bruke loddrette, enkle piler: \(\overset{a - b = c}{\underset{a = c + b}{↓}}\). Iblant vil vi markere at regler går begge veier \(\overset{a - b = c}{\underset{a = c + b}{⇵}}\). Det hender også at vi skriver dette vannrett: \(a - b = c → a = c + b\).
Vi bruker altså samme pil for en regel som skriver om et objekt til et annet som for en regel som skriver om en påstand til en annen.
Implikasjon#
Noen bruker dobbeltpil når de snakker om regler: \(a - b = c ⇒ a = c + b\). De snakker også om implikasjon i regler.
Vi vil skille mellom
Sannhetsverditabell#
Man kan tegne sannhetsverditabell med kolonne for premiss og konklusjon. Regelen er da bevist om alle linjene (situasjonene) hvor premisset er sant også er konklusjonen sann.
Eksempel: Bevis for en av de Morgans lover \(\overset{¬(A ∧ B)}{\underset{¬A ∨ ¬B}{↓}}\):
A |
B |
A ∧ B |
¬(A ∧ B) |
¬A |
¬B |
¬A ∨ ¬B |
|---|---|---|---|---|---|---|
S |
S |
S |
u |
u |
u |
u |
S |
u |
u |
S |
u |
S |
S |
u |
S |
u |
S |
S |
u |
S |
u |
u |
u |
S |
S |
S |
S |
Vi ser at i alle situasjonene (altså i alle tilfeller) gjelder at om \(¬(A∧B)\) er sann er også \(¬A ∨ ¬B\) sann. Regelen gjelder faktisk begge veier.
Venn-diagram#
Fig. 49 Venn-diagram de Morgan#
Man kan tegne Venn-diagram for premiss og konklusjon i en regel. Regelen er da bevist om alle områder i premiss-diagrammet også er fargelagt i konklusjon-diagrammet.
Figuren til høyre er Venn-diagram for både \(¬(A ∧ B)\) og \(¬A ∨ ¬B\). Figuren har fire områder; ser du forbindelsen til de fire linjene i sannhetsverditabellen over?
Grafiske representasjoner#
Trenger vi flere grafiske representasjoner?
Algoritmer#
Som for objekt-regler#
De fleste tingene vi snakket om for regler som skriver om objekter gjelder også her:
Vi kan anvende en regel på en del av et uttrykk
Vi kan anvende en generell regel på noe konkret
Ofte har vi usagte småregler
Lage regler#
Dette er behandlet under argumentasjon og særlig nivåer av argumentasjon.
For innføring, se [Hovik and Solem, 2021].
Task#
Formuler, formelt, regelen for
Aspekt#
Algoritmer
Regler
Datatyper#
Dette er muligens i utkanten av MA302:
En regel fra et reelt tall til et reelt tall kan som sagt ha type sannhetsverdi: (ℝ → ℝ) → 𝔹. Eksempel regelen \(2 + 3 → 7\) er usann.
En regel fra en påstand (som altså er sann eller usann) til et annet er også sant eller usant: (𝔹 → 𝔹) → 𝔹. Eksempel likningsregler.
Læring#
Det vanskelige: Når skal vi bruke regelen?#
Noen ganger kan man tenke at det er lett å bruke en regel; det er bare vanskelig å komme på når vi skal bruke den.
I tilfellet \(4x² + 2x = 4\) vil en elev streve, inntil hen gjenkjenner at man kan bruke regler for å komme fram til \(4x^2 + 2x - 4 = 0\) og så bruke abc-formelen. Det vanskelige er altså å gjenkjenne at man kan bruke reglene.
Når vi skal lære (og lære bort) regler er det viktigste kanskje å lære å gjenkjenne hvilke regler vi kan bruke i hvilke situasjoner. Til det kreves forståelse, men vel også øving.
Eksempel: Hva er \(\frac{a^2 - b^2}{a - b}\)? Her er vel det vanskelige å gjenkjenne hvilken regel man kan bruke på telleren.
Er all tenking regler?#
Man kan spørre seg om all tenking er regler. Vi ser noen streker og flater foran oss, og har regler som “skriver om” dette til et vakkert ansikt; vi gjenkjenner noen ansikter, og “skriver det om” til en hyggelig samtale.
Det finnes måter å forklare / modellere hvordan regler i hodet er implementert i nerveceller og synapser.
Filosofi#
Regler på objekt eller regler på språklige representasjoner?#
Bruker vi regler på matematiske objekt eller på språklige representasjoner av dem?
Man kan argumentere for at vi ikke kan ta på eller se matematiske (platonske) objekt i det hele tatt, og at vi derfor bare kan tenke på språklige representasjoner. “Språk” inkluderer her både norsk, engelsk, formler, grafiske representasjonsspråk og språk vi har inne i hjernen.
Derfor vil en del filosofer tenke at vi bare kan gjøre matematikk med representasjoner. Derfor finnes det ikke noe overskrift “de egentlige matematiske tingene” i Mashov, bare overskrifter for representasjoner og algoritmer på dem.
Man kan, tror jeg, argumentere for at man kan tro at det finnes noe bak representasjonene; en slik tro kan sammenliknes med religiøs tro.
Bevis, mengdelære og statistikk#
TODO