Ulikheter#
Forutsetninger og læringsmål#
Vi skal nå introdusere ulikheter. Dette forutsetter likninger.
Det er ikke mange andre ting som bygger på ulikheter, og ulikheter vil for oss være et mye mindre emne enn likninger. Men det er praktisk i en del situasjoner og gir dessuten en del innsikt til flinke studenter.
Oppgaver#
Læreplan#
(og Overordnet del 1.1 Menneskeverdet: “Derfor er vi avhengig av at ulikheter anerkjennes og verdsettes”.
[Hinna et al., 2016] s323??
Introduksjon#
Ulikheter likner en god del på likninger. Mens likninger har to sider som er like hverandre, har ulikheter to sider som er mindre eller større enn hverandre. Eksempel på ulikheter er altså \(x < 3\), \(2x - 3 > 5\) og \(x ≠ 0\).
Mange av reglene for ulikheter er de samme som i likniger, med noen unntak (om man ganger eller deler med et negativt tall, eller bytter sidene).
\(-x + 4 > 2 - 3\)
\(-x > 2 - 3 - 4\)
\(-x > -5\)
\(x > 5\)
Likninger har ofte ett tall som løsning: Likningen \(x - 2 = 3\) har løsningen \(\{x ↦ 5\}. Man må putte inn 5 inn på \)x\(-plassen for at påstanden skal bli sann. Ulikheter, derimot, har ofte en stor mengde som løsning. Ulikheten \)x - 2 > 3\( har løsning "alle tall større enn 5". Man kan putte inn hvilket som helst tall større enn 5 for at påstanden skal bli sann. Putter man for eksempel inn 6, får man \)6 - 2 > 3$, og det er jo sant.
Representasjoner#
Balansevekt #
Om vi har en balansevekt, kan mange ulikheter representeres ved en balansevekt som ikke er i balanse.
Tall-linje#
En likning kan ofte representeres som en tall-linje med ett punkt: \(x = 3\) kan representeres ved 
. (tall-linjene her er fra Wolfram Alpha). Flere eksempler nedenfor under “formelspråk”.
En ulikhet med mange løsninger kan representeres med en mengde punkt. Dette er vist nedover.
Formelspråk#
Operatoren kan være forskjellige:
\(x < 3\) (mindre enn)
\(x > 3\) (større enn)
\(x ≤ 3\) (mindre enn eller lik);
betyr det samme som \(x < 3 ∨ x = 3\)\(x ≥ 3\) (større enn eller lik)
\(x ≠ 3\) (ulik)
Det er også vanlig å skrive \(A < B < C\). Det blir jo forstått (som \(A < B ∧ B < C\)), men har formelle problemer.
Det er også mulig å bruke ord som ∧ (og) og ∨ (eller): \(x < 3 ∨ x > 4\) 
.
Fortegnsskjema#
Skjema hvor x-aksen er en slags tall-linje. Hver faktor er en linje; linjene blir så “multiplisert” sammen.
Brukes i rasjonale funksjoner (divisjon og multiplikasjon) for å finne ut når et uttrykk er større enn 0.
Vi setter inn faktorene \(x - 7\) og \(x - 1\) som hver sin linje i fortegnsskjemaet (se figuren) og merker av hvor de er 0. Vi merker også av når de er negative og når de er positive; om vi ikke ser det direkte kan vi sette inn noen tilfeldige tall mellom 0-punktene. I dette tilfellet ser vi at x vokser mot høyre.
Vi setter også inn produktet \(x^2 - 8x + 7\) som egen linje. Vi vet at \(x^2 - 8x + 7 = (x-7)(x-1)\). Dermed kan vi “multiplisere linjene”: Der to faktorer er negative blir resultatet positivt; der bare én er negativ blir resultatet negativt (altså mellom 1 og 7). Når begge er positive blir resultatet positivt.
Brukes dette utenfor norsk skole?
Småstein og fliser#
Koordinatsystem#
Også i koordinatsystem kan vi tegne opp venstre- og høyresidene som grafer. Løsningsmengdene framstår typisk ikke som punkter, men som områder
Algoritmer#
Dette er mye av det samme som for likninger.
Lover#
Mange av disse er også lik som lovene for likninger. Reglene er stort sett de samme, med ett viktig unntak: Når vi ganger eller deler på noe negativt, må vi snu ulikheten (f.eks. bytte < med >).
Gjøre ting på en av sidene#
Dette er selvfølgelig lov.
Aspekt ved ulikheter#
Et utsagn som er sant#
En ulikhet, akkurat som en likning, er et utsagn som er sant eller ikke; (det er sant at) x er mindre enn 3. Dette er sant for visse verdier av x men ikke for andre.
Hvilke x-er utsagnet er sant for (løsningsmengde)#
Et annet aspekt er “hvilke verdier for x er utsagnet sant for”. Dette er løsningsmengden.
Hvordan formidle ulikheter#
Som utfordring til de sterkeste?
Talltyper #
Mengdeangivelser.