Oppgavesett nasjonal deleksamen MA103 5-10

Om eBoka

NLA logo

Denne eBoka er resultatet av et delprosjekt under Innovative læremidler, som er et av satsningsområdene på NLA høgskolen. eBoka blir brukt i et undervisningsopplegg som går over flere uker. I hver økt får studentene får en kort felles introduksjon før de jobber med oppgavene i selvvalgte grupper. Hver økt avsluttes med en kort oppsummering.

Introduksjon

Hvordan bruke eBoka?

Under hver deloppgave finner du en video som forteller noe om hvordan deloppgaven kan løses. Du velger selv hvordan du bruker disse videoene:

Noen føler seg usikre på matematikkfaget. De vil helst se på videoen før de løser en oppgave.
Noen studenter føler seg ganske trygge på matematikken. De vil helst prøve å løse oppgaven først, så ser de videoen etterpå.
Noen studenter føler seg enda tryggere på matematikken. For slike studenter kan videoene bli for omstendelige. Da holder det kanskje å se på de skriftlige løsningsforslagene. Om noen synes at også disse inneholder for mange detaljer, kan man se på sensorveiledningene som ligger på Canvas.

Det er et mål at du etter hvert skal klare å løse oppgavene på egen hånd og bli mindre avhengig av videoene. Uansett hvordan du bruker videoene, er det viktig at du lager et skriftlig løsningsforslag til hver eneste deloppgave. Løsningsforslaget bør ha den samme type kvaliteten som den man forventer i forbindelse med eksamen. Husk at du må lese oppgaveteksten nøye før du ser på videoene. Hvis du synes at det snakkes for langsomt på videoene, kan du endre avspillingshastigeten ved å trykke på tannhjulet til høyre under videoene.

Økt 1

Eksamen V20 oppgave 10

Noen elever bygger tårn med terninger, det vil si at de setter terninger oppå hverandre som vist på bildet nederst. Du skal finne antall terningsider som er synlige når du «går rundt» et slikt tårn.

For eksempel: I et «tårn» med én terning kan du se fem forskjellige terningsider når du går rundt tårnet.

I et tårn med to terninger kan du se ni forskjellige terningsider når du går rundt tårnet.

Hvor mange terningsider kan du se når du går rundt et tårn med $10$ terninger? Beskriv hvordan du kommer fra antall terningsider du kan se i et tårn med $10$ terninger til antall terningsider du kan se i et tårn med $11$ terninger.

Beskriv tre ulike måter en elev kan ha tenkt for å komme frem til en riktig eksplisitt formel for antall terningsider du kan se når du går rundt et tårn med $n$ terninger.

Eksamen H19 oppgave 4

Under er det tegnet tre figurer som representerer stoltallene $S_1$, $S_2$ og $S_3$. Antallet prikker i figur $1$ kaller vi for $S_1$ (stoltall nummer $1$ ), antallet prikker i figur $2$ kaller vi $S_2$ (stoltall nummer $2$ ) og så videre.

Bruk figurene til å forklare utviklingen til stoltallene fra $S_1$ til $S_3$, og tegn $S_6$.

Klassen din arbeider med denne oppgaven. De kommer frem til to ulike formler for stoltall nummer $n$. $$ S_n=2n+(n+1) $$ $$ S_n=2(n+1)+n-1 $$

Forklar hvordan begge formlene henger sammen med figurene av stoltallene, og vis algebraisk at formlene er like.

Tenk deg at du har $131$ prikker til rådighet. Hvilket nummer har det største stoltallet du kan lage?

Finn en eksplisitt formel for tallfølgen hvor de fire første tallene er gitt ved: $2$, $7$, $15$, $26$, …
(Hint: det kan være nyttig å bruke kvadrattall og trekanttall).

Oppgave om utledning av formelen for trekanttall

Målet med denne oppgaven er å lage en formel for det $ n $’te trekanttallet, $ T_n $.

Under er det tegnet tre figurer som representerer rektangeltallene $ R_1 $, $ R_2 $ og $ R_3 $. Antallet prikker i figur $1$ kaller vi for $ R_1 $ (rektangeltall nummer $1$ ), antallet prikker i figur $2$ kaller vi $ R_2 $ (rektangeltall nummer $2$ ) og så videre.

Bruk figurene til å forklare utviklingen til rektangeltallene fra $ R_1 $, til $ R_3 $ og tegn $ R_4 $.

Lag en formel for det $ n $’te rektangeltallet $ R_n $.

Del figuren som representerer rektangeltallet $ R_3 $ i to deler slik at hver av de to delene består av trekanttallet $ T_3 $. Del figuren som representerer rektangeltallet $ R_2 $ i to deler slik at hver av de to delene består av trekanttallet $ T_2 $. Del figuren som representerer rektangeltallet $ R_1 $ i to deler slik at hver av de to delene består av trekanttallet $ T_1 $.

Bruk det du gjort i oppgave c) til å lage en formel for $T_n$ (trekanttall nr. $n$).

Økt 2

Eksempeloppgave H19 oppgave 1

Nedenfor ser du figurer med de tre første trekantene i en følge av formlike trekanter. Alle de små trekantene er kongruente (har samme form og størrelse).

Fyll ut tabellen under.

Figur nr.	Ant. små trekanter
$1$	$1$
$2$
$3$
$n$

Bruk figurene til å forklare hvordan du kommer frem til det generelle uttrykket for antall små trekanter.

Gitt tre rutenett:

$7$	$13$
$9$	$15$

Rutenett 1

$3$	$9$
$5$	$11$

Rutenett 2

$n$

Rutenett 3

i) Fyll ut rutenett 3, slik at det følger samme mønster som rutenett 1 og 2.

Differansen mellom produktene av diagonalene i rutenett 1 kan regnes ut slik:
$$9 \cdot 13−7 \cdot 15=12.$$ ii) Vis ved regning at du får samme differanse mellom produktene for henholdsvis rutenett 2 og 3 også.

Eksamen V20 oppgave 1

Følgende kompetansemål etter 8. trinn er formulert i LK20: «Mål for opplæringa er at eleven skal kunne representere funksjonar på ulike måtar og vise samanhengar mellom representasjonane».

Tabellen nedenfor viser hvilke mulige overganger som fins ved å kombinere en av radene med en av kolonnene ved å gå fra en representasjon til en annen for eksempel fra en tabell til en graf (se krysset).

	Situasjon	Tabell	Graf	Funksjonsutrykk (formel)
Situasjon
Tabell
Graf		X
Funksjonsutrykk

Formuler en funksjonsoppgave der elever på 8. trinn må gå fra en situasjon til et funksjonsuttrykk. Du skal også lage et løsningsforslag til oppgaven.

Formuler en funksjonsoppgave der elever på 8. trinn må gå fra en tabell til et funksjonsuttrykk. Du skal også lage et løsningsforslag til oppgaven

Eksamen H19 oppgave 1

Gitt følgende graf:

Lag en tabell som viser minst fire $x$-verdier med tilhørende $y$-verdier.

Finn en likning som beskriver grafen over.

Beskriv med ord en konkret situasjon som kan representeres ved hjelp av grafen. Gi en tolkning av hva $x$-verdiene og hva $y$-verdiene representerer.

En elev påstår følgende om grafen over: «Da vi lærte om proporsjonale størrelser så fikk vi også en rett linje da vi tegnet grafen. Da er vel også nå $x$ og $y$ proporsjonale…?»

Er påstanden riktig? Begrunn svaret ditt.

Løs likningen $275 = 150 + 25x$ grafisk.

Økt 3

Eksempeloppgave H19 oppgave 4

Hvilke av følgende tre utsagn er sanne, usanne eller ingen av delene?

Utsagn 1	Utsagn 2	Utsagn 3
Sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser kan uttrykkes ved hjelp av en lineær funksjon.	For alle tall $a$ og $b$ ligger punktene $ (a,b) $ og $ (-a,-b) $ symmetrisk om origo i et koordinatsystem.	Grafen til funksjonen $y= \frac{1}{2} x+3$ går gjennom 1., 2. og 4. kvadrant.

Gi en begrunnelse for svaret du gav på utsagn 1.

Eksamen H19 oppgave 2

Noen elever blir bedt om å finne tallet slik at likheten i følgende oppgave er sann

Enkelte elever svarer $10$, og andre elever svarer $6$. Hvordan kan disse elevene ha tenkt?

Beskriv hvordan vi kan bruke tallinjen til å finne riktig verdi i likheten $9 \ – 3 = \square + 4$. Tegn tallinjen og beskriv kort hvordan du tenker.

Kari har hatt en innføringstime om det å løse likninger, og hun gav elevene følgende oppgave: $$10 − \square = 12 − 7$$ Hun ba elevene om å avgjøre hvilket tall som passer i den tomme boksen for å gjøre likheten sann. Alle elevene fant det riktige svaret, $5$, men de brukte ulike strategier.

Hvilke av følgende strategier er riktige? Begrunn svaret ditt.

1) $12 \ – 7 = 5$, så jeg må finne ut hva jeg trekker fra $10$ for å få $5$. $10 \ – 5 = 5$, så da blir svaret $5$.
2) $10$ er to mindre enn $12$ på den andre siden, så da må jeg trekke fra $2$ fra $7$ for å få det samme, så svaret er $5$.
3) Når jeg regner $12$ minus $7$ så får jeg $5$, så $5$ må da settes inn i den tomme boksen får å gjøre uttrykket sant.

Gitt følgende oppgave:
Finn tre etterfølgende naturlige tall som gir summen $81$.
Løs oppgaven på to ulike måter, der den ene måten skal være med bruk av likning.

Tenk deg at du skal lage en oppgave tilsvarende den gitte oppgaven i d), men med et annet tall enn $81$. Finn en egenskap som er nødvendig og tilstrekkelig for at et tall skal være summen av tre etterfølgende naturlige tall. Gi en algebraisk begrunnelse.

En elev har løst to likninger slik:

Likning 1:

Likning 2:

Har eleven løst likningene riktig? Begrunn svaret ditt.

Beskriv hvordan du vil hjelpe Anne til å forstå dette.

Økt 4

Eksamen V20 oppgave 4

En lærer ber elevene løse likningen $−5x + 8 = 13x − 10$. Læreren observerer at elevene bruker ulike strategier. Avgjør for hver av de fire strategiene i) – iv) nedenfor om den er riktig eller feil. Begrunn svaret ditt ved å beskrive hva eleven i hvert tilfelle gjør riktig eller feil.

Eksamen V20 oppgave 8

I elevenes arbeid med likningsløsning kan det, i tillegg til formell løsningsstrategi, være praktisk å kunne bruke uformelle løsningsstrategier. I LK20 står det at elevene etter 5. trinn skal kunne løse likninger gjennom logiske resonnement, og at de etter 7. trinn skal kunne bruke ulike strategier for å løse lineære likninger.

Velg én av likningene i) – iv) ovenfor som passer til å bli løst gjennom logiske resonnement. Begrunn valget ditt. Løs den valgte likningen gjennom to ulike logiske resonnement som er tilpasset elever på 5. trinn.

Velg den av likningene i) – iv) ovenfor som best illustrerer behovet for en formell løsningsstrategi. Begrunn valget ditt. Løs den valgte likningen ved en formell løsningsstrategi.

Eksamen V20 oppgave 9

Innenfor algebra skal elevene på ungdomstrinnet arbeide med den første kvadratsetningen.

Vis den første kvadratsetningen på tre måter: geometrisk (generelt tilfelle), med tall, og med variabler.

Økt 5

Eksempeloppgave H19 oppgave 2

Du gir elevene dine denne «tenk på et tall-oppgaven»:

Tenk på et tall. Doble tallet. Deretter adderer du $4$ til tallet du nå har fått. Divider så med $2$ og subtraher deretter $1$. Hvilket tall får du?

Vis hvordan du kan finne tallet ved hjelp av
i) en illustrasjon eller konkretisering
ii) en algebraisk representasjon

Lag selv en «tenk på et tall-oppgave» som egner seg til bruk i klasserommet. Alle elevene skal komme frem til det samme tallet, og gåten skal inneholde fire regneoperasjoner.

Eksamen V20 oppgave 2

Tenk på et tall, multipliser tallet med $2$, legg til $4$ og del svaret ditt på $2$. Multipliser tallet du nå har med $3$. Trekk fra det dobbelte av tallet du opprinnelig valgte, og trekk fra $6$.

Vis algebraisk en generell sammenheng mellom det tallet en velger og det svaret en får.

Lag en «tenk på et tall»-oppgave til elever på 6.trinn hvor elevene må bruke alle de fire regneartene, og der alle elevene får samme tall som svar. Vis algebraisk at oppgaven fører til at alle elevene får samme tall som svar.

Eksempeloppgave H19 oppgave 3

I en matematikktime om ligninger, ber læreren elevene løse ligningen $$ 4(5x-11)=16.$$ Når han går rundt i klassen og studerer elevenes arbeid, oppdager han at de benytter ulike strategier.

For hver av elevstrategiene under, avgjør om det er eller ikke er en gyldig strategi som er brukt i løsning av oppgaven.

Du har gitt likheten $5+x=5+y.$ Velg riktig påstand. Argumenter for påstanden du velger.

i) Dette er sant for alle tall $x$ og $y$.
ii) Dette er usant for alle tall $x$ og $y$.
iii) Dette er sant for noen tall $x$ og $y$ og usant for andre.
Du har gitt likheten $3a-4=3a+4$. Velg riktig påstand. Argumenter for påstanden du velger.

i) Dette er alltid sant.
ii) Dette er aldri sant.
iii) Dette kan være sant.
Emma løste ulikheten $2(x-3) > \frac{5}{2} x+8 $ på følgende måte:
\begin{align} 2(x-3) &> \frac{5}{2} x+8 \\ 2x-3 &> \frac{5}{2} x+8 \\ 2x- \frac{5}{2} x &>8-3 \\ - \frac{1}{2} x &>5 \\ x &>-10 \end{align}
i) Hvilke feil gjør Emma i utregningen?

ii) Hvordan vil du forklare Emma feilene hun gjør?

Under ser du utregningene som to elever har gjort.

i) Hvilken av utregningene er feil?

Utregning 1: $ \frac{x}{x+y} = \frac{x}{x} + \frac{x}{y} =1+ \frac{x}{y} $

Utregning 2: $ \frac{x+y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} =1+ \frac{y}{x} $

ii) Forklar hvordan du vil hjelpe den eleven som har regnet feil?

Økt 6

Eksamen V20 oppgave 6

En elev løste ulikheten $2(x − 3) < −1 $ på følgende måte:

Påpek hvor eleven gjorde feil, og begrunn hvorfor det er feil.

Eksamen V20 oppgave 3

Noen elever diskuterer hvilket av uttrykkene $ (t + 3) $ og $ (5 + t) $ som er størst. Nedenfor er det fire påstander fra elever. Begrunn for hver påstand om den er riktig eller feil.

Trine: Det kommer an på hva $t$ er, om $t$ er en brøk eller et negativt tall.

Nils: $ (5 + t) $ er størst bare når $t$ er positiv.

Kristina: $ (5 + t) $ er alltid størst.

Mike: Dersom $t$ er $10$ i $ (t + 3) $ og $t$ er $2$ i $ (5 + t) $, så er $ (t + 3) $ størst.

Eksamen V20 oppgave 7

Elever på 8. trinn fikk følgende oppgave

Beskriv alle svarmulighetene A−D med algebraiske uttrykk. Avgjør hvilken av svarmulighetene som er riktig svar på oppgaven.

Velg én av svarmulighetene som er feil, og beskriv hvordan elever som valgte dette feilsvaret, kan ha tenkt

Eksamen H19 oppgave 3

Eleven Ola arbeider med forenkling av algebraiske uttrykk. I forenklingsprosessen skriver han at $5a + 3b$ er lik $8ab$. Læreren ber Ola beskrive hvordan han resonnerer, og Ola sier: «Jeg tenker at $a$ står for appelsiner og $b$ står for bananer, og når vi legger dem sammen får vi åtte frukter».

Resonnerer Ola riktig? Begrunn svaret ditt.

Ved den distributive loven vet vi at $a \cdot (b + c) = ab + ac$. Lag en illustrasjon med forklaring som viser likheten.

En elev fikk som oppgave å forkorte brøken $ \frac{4x-16}{x^2-16} $. Her er elevens løsning:

Hva er det eleven gjør feil?

Vis hvordan du kan forkorte brøken $ \frac{4x-16}{x^2-16} $ på riktig måte.

Eksamen V20 oppgave 5

En lærer observerer at elevene virker trygge når de bruker standardteknikker til å tegne grafen til lineære likninger, og når de løser likningssystem som består av to likninger med to ukjente. Læreren tror likevel at elevene bruker teknikkene rutinemessig ved å enten tenke algebraisk eller geometrisk, og at de ikke mestrer å veksle mellom disse to representasjonene. Læreren vil derfor gi elevene en oppgave der de må tenke både algebraisk og geometrisk.

Avgjør hvilken av de fire oppgavene i) – iv) nedenfor som er best egnet for lærerens formål. Begrunn svaret ditt ved å beskrive hva som gjør at hver av oppgavene er egnet eller ikke. (Du skal ikke selv løse oppgavene).

i) Beskriv med egne ord hvordan du kan bestemme skjæringspunktet når du har gitt likningene til to linjer.

ii) Finn skjæringspunktet mellom følgende to linjer, og tegn grafene: $$𝑦 = 2𝑥 + 3 $$ $$𝑦 = 2𝑥 − 7 $$ iii) Studer de to lineære funksjonene nedenfor, hvor $a$ og $b$ er negative tall: $$\begin{align} y & = 𝑥 + 3 \\ y & = 𝑎𝑥 + 𝑏\end{align}$$ Hva kan du si om skjæringspunktet mellom grafene til de to funksjonene?

iv) Bruk det du har lært om å løse likninger med to ukjente til å løse følgende likningssystem av tre likninger, og forklar hva løsningen betyr: $$𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 0 $$ $$𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 3 $$ $$𝑥= 4𝑦 + 𝑧$$

Figur nr.	Ant. små trekanter
\(1\)	\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(n\)

\(7\)	\(13\)
\(9\)	\(15\)

\(3\)	\(9\)
\(5\)	\(11\)